Kalman Filter：预测、创新与更新

每个日期携带的是状态估计和误差协方差，而不只是平滑线上的一个点。

线性使状态与观测成为过去状态和扰动的仿射函数，Gaussian 假设保持条件分布为 Gaussian。

在该模型下，条件均值最小化均方误差。模型之外递归仍可能有用，但失去同样的最优性声明。

转移矩阵把先前状态向前投射，控制变量或已知输入可以改变预测均值。

协方差也被传播，并因过程噪声而扩大。允许快速变化的状态在两次观测间更不确定。

这个先验预测不用当前观测。把它与更新分开，可以审计实时信息纪律。

Innovation 是观测值减去观测方程的预测值，即先验状态未预料的部分。

它的方差结合投射状态不确定性与测量噪声。若方差很大，较大原始意外也可能普通。

规格正确时，标准化 innovation 应近似不可预测噪声。序列模式暴露模型遗漏的信息。

Gain 把 innovation 映射为状态修正。当状态预测相对测量更不确定时，它会增大。

观测噪声大时 gain 较小，滤波器移动更少；测量精确时，更多意外成为状态修订。

它通常不是固定平滑参数，而会随协方差、缺失数据和时变系统矩阵演化。

观察数据后，已解决部分不确定性，状态协方差收缩；下一次预测又因过程噪声扩张。

舍入误差可产生不对称或非半正定矩阵，因此数值稳定的协方差公式很重要。

只用滤波协方差的置信带可能遗漏参数不确定性。估计转移与噪声参数还增加一层误差。

初始状态可设为已知、平稳、待估或 diffuse。早期滤波值可能强烈依赖选择。

预测误差和方差构成 Gaussian 似然以估计未知参数。不能只为视觉平滑而调噪声水平。

比较初始化、留出预测和边界估计。接近零的方差或接近一的持续性可能表示弱识别。

Extended Filter 局部线性化非线性函数，Unscented Filter 传播选定点，Particle Filter 模拟状态分布。

它们不会自动更准确。强非线性、厚尾或多峰状态需要方法特定诊断。

比起用一个线性 Gaussian 递归贯穿所有市场，稳健观测模型或区制切换可能更合适。

它可从含噪报价估计有效价格、时变 beta、收益率曲线因子或变化的对冲比率。

估计以模型和参数为条件。使用“预测”一词并不意味着能知道明日收益。

用每个日期真正可用的信息评估一步 innovation、滚动预测、状态修订、换手与交易成本。