Biến động thực hiện hai thang đo: Ước lượng phương sai khi có nhiễu vi cấu trúc

Phương sai thực hiện thường được tính bằng cách cộng bình phương lợi suất. Nếu giá log quan sát được bám sát giá hiệu quả, nhiều quan sát hơn có thể ghi nhận đường đi của giá đầy đủ hơn. Nhưng giá giao dịch và báo giá thực tế còn phản ánh dao động bid–ask, bước giá rời rạc, độ trễ và các tác động vi cấu trúc khác. Ở khoảng thời gian rất ngắn, các yếu tố này có thể lớn so với biến động của giá hiệu quả giữa hai lần quan sát.

Vì vậy, phương sai thực hiện ngây thơ có thể tăng khi quan sát dày hơn, dù phương sai tích phân của quá trình nền trong phiên không thay đổi. Điều đó không nhất thiết cho thấy độ biến động kinh tế của tài sản tăng; nguyên nhân có thể là bình phương các chênh lệch giá nhiễu rồi cộng lặp lại nhiều lần. Hướng dẫn tính biến động thực hiện giải thích tổng bình phương lợi suất thông thường; bài này tập trung vào điều chỉnh một nguồn gây độ chệch ở tần suất cao.

TSRV do Zhang, Mykland và Aït-Sahalia giới thiệu trong nghiên cứu ban đầu về hai thang thời gian, sử dụng hai độ phân giải cho hai mục đích khác nhau. Lưới thưa làm giảm số gia bị nhiễu. Trung bình nhiều lưới thưa dịch điểm bắt đầu giúp tránh phụ thuộc vào một điểm gốc tùy ý. Lưới dày đầy đủ cung cấp ước lượng nhiễu đã điều chỉnh tỷ lệ để trừ đi. Vì lập luận phụ thuộc vào giả định và lựa chọn trong mẫu hữu hạn, kết quả vẫn là một ước lượng có độ bất định, không phải đường giá thật đã được làm sạch.

Gọi \(X_t\) là giá log hiệu quả tiềm ẩn, được mô hình hóa trong cửa sổ đang xét như một quá trình liên tục có tốc độ phương sai cục bộ \(\sigma_t^2\). Đại lượng cần ước lượng là phương sai tích phân: \[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

Tại thời điểm quan sát \(t_i\), giá log được ghi nhận là \[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \] trong đó \(\epsilon_{t_i}\) là nhiễu quan sát. Suy dẫn cổ điển dùng mô hình cơ sở trong đó nhiễu có kỳ vọng bằng không, độc lập giữa các thời điểm quan sát, độc lập với quá trình giá hiệu quả và có phương sai không đổi \(\omega^2\). Mô hình cũng giả định lưới lấy mẫu đều và một quá trình giá hiệu quả liên tục phù hợp trong cửa sổ. Đây là điều kiện mô hình, không phải mô tả áp dụng cho mọi dữ liệu sàn giao dịch.

Mức thay đổi quan sát được là \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). Nhiễu đi vào hai lợi suất liền kề với dấu ngược nhau: sai số giá dương ở một quan sát làm tăng một lợi suất và giảm lợi suất kế tiếp. Vì vậy, lợi suất tính từ giá nhiễu không giống các sai số đo lường độc lập. Hướng dẫn về biến phân bậc hai giải thích vì sao trong trường hợp không có nhiễu, tổng bình phương số gia nhắm đến biến thiên của đường đi.

Mục tiêu ở đây là phương sai trong một cửa sổ thời gian xác định. Đây không phải ước lượng bid–ask spread, dự báo hay chi phí khớp lệnh thực tế. Với câu hỏi khác về giá giao dịch, xem ước lượng bid–ask spread Roll. Cần giữ rõ mục tiêu vì nhiều phương pháp vi cấu trúc thị trường cùng dùng giá tần suất cao nhưng ước lượng các đại lượng khác nhau.

Với \(n\) lợi suất trên lưới dày, định nghĩa \[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \] Trong mô hình cơ sở, phần nhiễu của một lợi suất quan sát là \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\), có phương sai \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). Bỏ qua các số hạng chéo có kỳ vọng bằng không theo giả định độc lập, ta có \[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

Số hạng thứ nhất là phương sai tích phân cần tìm. Số hạng thứ hai cộng thêm một phần nhiễu cho mỗi lợi suất trên lưới dày. Khi khoảng lấy mẫu ngắn lại và \(n\) tăng, phần nhiễu có thể chiếm ưu thế. Vì thế, nếu bỏ qua nhiễu đo lường thì quy tắc “lấy mẫu càng thường xuyên càng tốt” không an toàn. Aït-Sahalia, Mykland và Zhang phân tích tần suất lấy mẫu tối ưu trong mẫu hữu hạn trong nghiên cứu lấy mẫu khi có nhiễu vi cấu trúc.

Đây là xấp xỉ cho kỳ vọng dưới một mô hình. Một mẫu cụ thể còn có các số hạng chéo ngẫu nhiên giữa số gia giá hiệu quả và nhiễu, nên giá trị thực hiện không nhất thiết bằng kỳ vọng. Nếu phương sai nhiễu thay đổi trong ngày, sai số phụ thuộc chuỗi thời gian hoặc thời điểm lấy mẫu không đều, biểu thức đơn giản \(2n\omega^2\) có thể không mô tả được độ chệch. Khi đó công thức quen thuộc có thể đưa ra con số trông chính xác nhưng điều chỉnh nhầm thành phần.

Chọn khoảng cách nguyên \(K>1\). Với mỗi độ lệch \(k=0,\ldots,K-1\), tính phương sai thực hiện trên lưới thưa bằng cách lấy mỗi giá quan sát thứ \(K\): \[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \] Mỗi số gia thưa bao trùm một khoảng dài hơn, nhưng lưới vẫn phủ gần như cùng cửa sổ quan sát. Lấy trung bình trên các độ lệch sẵn có: \[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Độ lệch điểm bắt đầu có ý nghĩa. Một lưới thưa duy nhất có thể bắt đầu ngay trước hoặc sau một biến động lớn, khiến kết quả nhạy với lựa chọn đó. Trung bình các lưới dịch chuyển giảm sự phụ thuộc vào điểm bắt đầu. Tuy nhiên, cách này không tạo ra \(K\) bộ dữ liệu độc lập: các lưới dùng lại cùng quan sát và phụ thuộc thống kê với nhau.

Với nhiễu quan sát độc lập, cùng phương sai, hiệu giữa nhiễu ở hai đầu một lợi suất thưa vẫn có phương sai \(2\omega^2\), vì hai đầu là các quan sát khác nhau. Số lợi suất thưa ít hơn số lợi suất dày, nên ước lượng thưa trung bình tích lũy ít độ chệch nhiễu hơn. Thành phần tín hiệu vẫn xấp xỉ cùng phương sai tích phân vì số gia thưa bao phủ toàn bộ cửa sổ chứ không chỉ một phần.

Hình minh họa trong bài mang tính khái niệm: so sánh đường giá quan sát gồ ghề với các góc nhìn lấy mẫu thưa, dịch chuyển quanh một đường tiềm ẩn mượt hơn. Hình không thể hiện dữ liệu thị trường hay kết quả ước lượng. Với các ước lượng dùng giá cao-thấp thay cho cấu trúc hai lưới này, xem hướng dẫn ước lượng biến động theo khoảng OHLC.

<!-- learn:illustration -->

Gọi \(\bar n\) là số lợi suất thưa trung bình trên các lưới lệch điểm bắt đầu và đặt \(\lambda=\bar n/n\). Trong mô hình cơ sở, độ chệch nhiễu của lưới thưa trung bình xấp xỉ \(2\bar n\omega^2\). Ước lượng lưới dày có độ chệch xấp xỉ \(2n\omega^2\), nên \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) đóng góp khoảng \(2\bar n\omega^2\). Trừ hai phần này làm triệt tiêu số hạng nhiễu chính: \[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Hiệu thô này cũng trừ đi tỷ lệ \(\lambda\) của tín hiệu phương sai tích phân vì cả hai thành phần đều chứa tín hiệu. Do đó một chuẩn hóa mẫu hữu hạn thường dùng là \[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \] Mẫu số khôi phục hệ số tín hiệu trong phép tính kỳ vọng đơn giản. Quy ước triển khai và xử lý điểm cuối có thể khác nhau, nên cần ghi rõ định nghĩa \(n\), tập độ lệch và cách tính \(\bar n\). Điều chỉnh này không loại bỏ bất định lấy mẫu và không sửa được mô hình nhiễu bị sai. Trong thiết lập tiệm cận cổ điển, \(\lambda\) nhỏ dần khi mẫu lớn lên; với cửa sổ ngắn, hệ số mẫu hữu hạn vẫn có thể quan trọng.

Ước lượng có thể âm khi \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). Điều đó không có nghĩa biến thiên vật lý âm; phép trừ nhiễu trong mẫu hữu hạn đã vượt ước lượng lưới thưa. Thay bằng 0 có thể tiện cho biểu đồ, nhưng làm thay đổi ước lượng và thêm quy tắc cắt ngưỡng. Trong phân tích hãy lưu và báo cáo giá trị thô, kiểm tra thang đo cùng giả định đã chọn, và nêu rõ mọi bước cắt sau đó.

Giả sử bảy điểm giá log quan sát giả định tạo ra sáu lợi suất trên lưới dày, tính bằng điểm cơ bản: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. Chuỗi nhỏ này chỉ dùng để minh họa phép tính, không phải dữ liệu sàn. Phương sai thực hiện trên lưới dày là \[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Đặt \(K=2\). Độ lệch thứ nhất ghép các lợi suất dày liền kề thành \([2,-2,2]\) bp, có tổng bình phương \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). Lưới dịch chuyển thứ hai cho \([0,0]\) bp, tổng bình phương bằng 0. Trung bình hai ước lượng lưới là \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

Với sáu lợi suất dày và hai độ lệch, số lợi suất thưa trung bình là \(\bar n=(3+2)/2=2.5\). Vì vậy \(\lambda=2.5/6=5/12\), và \[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Ước lượng phương sai là \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\) theo đơn vị bình phương lợi suất thập phân. Căn bậc hai xấp xỉ \(2.45\) bp cho cửa sổ giả định này; con số chưa được quy đổi theo năm. Việc nó bằng RV lưới dày trong chuỗi nhỏ được dựng này là đặc điểm của ví dụ, không phải đẳng thức tổng quát của TSRV. Đường giá khác có thể cho ước lượng cao hơn, thấp hơn hoặc thậm chí âm.

Phép tính cũng cho thấy giới hạn của mô hình: vì không quan sát riêng đường tiềm ẩn và nhiễu, riêng mẫu này không thể chứng minh \(6\,\mathrm{bp}^2\) bằng phương sai tích phân thực. Ta có thể kiểm tra tổng, thang đo và đơn vị, nhưng không thể suy ra phân rã ẩn từ ví dụ. Một họ điều chỉnh nhiễu tần suất cao khác là phương pháp realized-kernel trong các nghiên cứu thực nghiệm; phương pháp đó cũng có giả định và lựa chọn triển khai riêng.

\(K\) tạo ra sự đánh đổi giữa số lợi suất thưa, việc lấy trung bình và hiệu chỉnh nhiễu. \(K\) quá nhỏ giữ lại nhiều số gia ngắn và có thể vẫn nhạy với nhiễu. \(K\) quá lớn chỉ còn ít lợi suất thưa, làm ước lượng kém ổn định và dễ bị ảnh hưởng bởi cửa sổ hữu hạn. Lấy trung bình các độ lệch giúp căn chỉnh lưới nhưng không thể tạo thêm thông tin không có trong mẫu ngắn hoặc chất lượng thấp.

Trong phân tích tiệm cận ban đầu, khoảng cách thưa tối ưu tăng theo cỡ mẫu; theo ký hiệu và điều kiện cơ sở của bài đó, nó có bậc \(n^{2/3}\). Đây là kết quả về tốc độ tiệm cận, không phải hướng dẫn chung phải chọn một số giây hoặc số quan sát nhất định. Tối ưu phụ thuộc tỷ lệ nhiễu trên tín hiệu và các giả định; nghiên cứu sau này và triển khai thực tế có thể dùng quy tắc tinh chỉnh cùng quy ước điểm cuối khác. Hãy báo cáo khoảng lấy mẫu, \(K\), các độ lệch, ranh giới phiên và chuẩn hóa mẫu hữu hạn để người khác tái lập ước lượng.

Một phân tích có cơ sở có thể so sánh độ nhạy trên một tập \(K\) hợp lý đã định trước, thay vì chọn cấu hình cho kết quả có vẻ hấp dẫn nhất sau khi xem dữ liệu. Nếu ước lượng thay đổi đáng kể, sự bất ổn đó cũng là một phần của phát hiện. Nên chọn thang đo theo thiết kế dữ liệu và quy tắc được ghi nhận, không phải sau khi tìm mức biến động mong muốn. Có thể so sánh với phương sai thực hiện trên lưới thưa hơn hoặc một ước lượng bền vững với nhiễu, nhưng phải phân biệt rõ các thước đo.

Điều chỉnh cổ điển được suy ra cho một cấu trúc nhiễu cụ thể. Dao động bid–ask và tác động vi cấu trúc khác có thể phụ thuộc chuỗi thời gian, thay đổi trong phiên, phụ thuộc thanh khoản hoặc tương quan với số gia giá hiệu quả. Trong nghiên cứu về phương sai thực hiện, Hansen và Lunde ghi nhận tương tác giữa phương sai thực hiện và nhiễu vi cấu trúc có thể gồm phụ thuộc thời gian và tương quan với biến động giá hiệu quả. Sau đó Aït-Sahalia, Mykland và Zhang phát triển phương pháp hai thang đo cho nhiễu vi cấu trúc phụ thuộc. Phần mở rộng này là lý do cần phân biệt ước lượng đã sửa đổi với công thức nhiễu độc lập ban đầu, chứ không phải giả định công thức cũ xử lý mọi dạng phụ thuộc.

Các vấn đề thực tế khác gồm thời điểm quan sát không đều, tài sản không đồng bộ, báo giá cũ, bước giá rời rạc, bước nhảy, giao dịch sai, tác động mở cửa và đóng cửa, và quan sát bị thiếu. Chúng có thể ảnh hưởng cả điều chỉnh lưới dày lẫn các lợi suất được đưa vào lưới thưa. Tùy câu hỏi nghiên cứu, bước nhảy có thể thuộc biến phân bậc hai mục tiêu hoặc cần tách riêng; TSRV không tự quyết định lựa chọn mô hình đó. Lọc bỏ quan sát cũng thay đổi lưới và cần được ghi nhận.

Bền vững với nhiễu không có nghĩa miễn nhiễm với mọi vấn đề dữ liệu. Trước khi diễn giải ước lượng là phương sai tiềm ẩn, hãy xác định dữ liệu đầu vào là giá giao dịch, báo giá hay giá giữa; nêu phép biến đổi lợi suất và đồng hồ thời gian; kiểm tra khoảng cách quan sát có đều không; ghi quy tắc làm sạch và phiên; đánh giá độ nhạy với \(K\). Nếu quá trình nhiễu vi phạm giả định cơ sở, hãy dùng phương pháp dành cho trường hợp đó và giải thích giả định. Đừng gọi ước lượng âm là biến động âm hoặc âm thầm đổi nó thành số dương.

Báo cáo minh bạch nêu cửa sổ mục tiêu, chuỗi giá đầu vào, khoảng lấy mẫu, số lợi suất dày, bước thưa \(K\), tập độ lệch, quy tắc điểm cuối, giả định nhiễu, chuẩn hóa, đơn vị và mọi bước cắt ngưỡng. Có thể trình bày cả hiệu thô, ước lượng đã chuẩn hóa và khoảng độ nhạy trên các thang đo định trước. Những chi tiết này giúp kiểm toán phép tính và tránh nhầm ước lượng phương sai với báo giá, dự báo tương lai hay bằng chứng về quy tắc giao dịch có lợi nhuận.

Phương sai tích phân được đo trong cửa sổ quan sát. Muốn quy đổi theo năm phải nêu quy ước thời gian, không che khuất mẫu hình trong ngày, khoảng qua đêm hay gián đoạn giao dịch. Lấy căn bậc hai chuyển đơn vị sang biến động của cửa sổ đó, nhưng tự nó không tạo ra chân trời dự báo. Thước đo thực hiện trong quá khứ có thể là đầu vào của mô hình; hiệu quả dự báo cần được đánh giá riêng trên dữ liệu không dùng để chọn thiết lập ước lượng.

Đóng góp chính của TSRV là về phương pháp: dưới mô hình nhiễu cộng được nêu rõ, hai thang lấy mẫu giúp giảm độ chệch nhiễu dẫn đầu khiến phương sai thực hiện tần suất cao ngây thơ không hội tụ đúng mục tiêu. Phương pháp không xác định nguồn của mọi biến động giá, loại bỏ rủi ro mô hình hay cho biết mức biến động kế tiếp. Hãy nêu rõ các giới hạn này cùng với con số ước lượng.