Ước lượng chênh lệch Bid–Ask theo Roll: Công thức, ví dụ và giới hạn

Chênh lệch báo giá là giá chào bán trừ giá chào mua tại một thời điểm. Trong khi đó, chênh lệch hiệu quả tóm tắt chi phí mà các giao dịch thực tế phải chịu so với giá trung bình tại cùng thời điểm. Ước lượng Roll là một đại diện tần suất thấp cho chênh lệch hiệu quả: nó dùng hiệp phương sai theo chuỗi của những thay đổi giá giao dịch quan sát được để suy ra khoảng cách giá có thể đã gây ra các lần đảo chiều ngắn hạn.

Ưu điểm của phương pháp là yêu cầu dữ liệu hạn chế. Nếu có giá giao dịch đáng tin cậy nhưng không có báo giá mua và bán lịch sử hoặc dấu hiệu về hướng giao dịch, ta vẫn có thể tính ước lượng này. Vì vậy, nó có thể hữu ích cho so sánh lịch sử và các thị trường có kho lưu báo giá không đầy đủ. Tuy nhiên, phương pháp không tái dựng sổ lệnh, không xác định phía của từng giao dịch và không cho nhà giao dịch biết chênh lệch hiện có thể giao dịch. Bài báo gốc của Roll suy ra thước đo này trong một thị trường hiệu quả và lưu ý rằng đại lượng được ước lượng là chênh lệch hiệu quả, không nhất thiết là chênh lệch báo giá được hiển thị (Roll, 1984).

Ước lượng này cũng không phải thước đo đầy đủ về chi phí giao dịch. Nó không bao gồm hoa hồng, tác động thị trường của một lệnh cụ thể, chi phí chờ đợi, khối lượng chưa khớp hoặc biến động giá sau thời điểm quan sát. Hãy xem nó như một bản tóm tắt dựa trên mô hình về hành vi giá giao dịch trong quá khứ, không phải báo giá có thể khớp lệnh hay mô hình chi phí backtest đầy đủ.

Gọi \(x_t\) là logarit của giá giao dịch, \(m_t\) là logarit của giá trị không quan sát được quanh đó giá chào mua và chào bán được đặt, và \(s\) là toàn bộ chênh lệch hiệu quả theo đơn vị logarit giá. Trong mô hình đối xứng đơn giản,

\[ x_t=m_t+\frac{s}{2}q_t, \]

trong đó \(q_t=+1\) biểu thị giao dịch do bên mua khởi xướng tại giá chào bán, còn \(q_t=-1\) biểu thị giao dịch do bên bán khởi xướng tại giá chào mua. Do đó, lợi suất quan sát được là

\[ r_t=\Delta x_t=\Delta m_t+\frac{s}{2}(q_t-q_{t-1}). \]

Giả sử dấu giao dịch độc lập và có xác suất bằng nhau để nhận giá trị \(+1\) hoặc \(-1\), các đổi mới của giá trị hiệu quả không có hiệp phương sai theo chuỗi, và chênh lệch không đổi trong suốt mẫu. Khi giao dịch chuyển từ một phía thị trường sang phía còn lại, giá giao dịch đi qua chênh lệch dù giá trị nền tảng hầu như không đổi. Một lệnh mua tại giá chào bán rồi đến lệnh bán tại giá chào mua tạo ra lợi suất âm rồi đảo chiều dương, hoặc theo trình tự ngược lại. Nếu hai giao dịch liên tiếp cùng diễn ra ở một phía, thành phần chênh lệch giữa hai quan sát có thể bằng không.

Theo các giả định này, thành phần chênh lệch khiến các lợi suất liên tiếp trung bình biến động theo hướng ngược nhau:

\[ \operatorname{Cov}(r_t,r_{t-1})=-\frac{s^2}{4}. \]

Giải phương trình theo \(s\) cho ta công thức Roll. Mẫu hình hiệp phương sai là hệ quả của mô hình khi các giả định được đáp ứng, chứ không chứng minh mọi lần đảo chiều giá quan sát được đều do chênh lệch bid–ask gây ra.

<!-- Illustration placement: after section 3; text-free conceptual comparison of a smooth underlying value path with transaction prices alternating above and below it. No labels, axes, or values. -->

Ký hiệu hiệp phương sai bậc một là \(C_1=\operatorname{Cov}(r_t,r_{t-1})\). Với mẫu gồm \(T\) lợi suất, một quy ước tính mẫu phổ biến là

\[ \widehat C_1=\frac{1}{T-1}\sum_{t=2}^{T}(r_t-\bar r)(r_{t-1}-\bar r), \]

trong đó \(\bar r\) là trung bình mẫu. Nếu \(\widehat C_1<0\), ước lượng thay thế trực tiếp là

\[ \widehat s_{\text{Roll}}=2\sqrt{-\widehat C_1}. \]

Kết quả có cùng đơn vị với lợi suất dùng để tính hiệp phương sai. Nếu \(r_t\) là lợi suất logarit, \(\widehat s\) là chênh lệch theo tỷ lệ hoặc theo đơn vị logarit giá. Nếu đầu vào là mức thay đổi giá bằng đô la thay vì lợi suất, ước lượng có đơn vị giá. Hãy nêu rõ phép biến đổi, khoảng lấy mẫu và quy ước tính hiệp phương sai trước khi so sánh các ước lượng giữa tài sản hoặc giai đoạn.

Roll nhấn mạnh hiệp phương sai thay vì tương quan. Tương quan chia cho phương sai vô điều kiện của lợi suất, trong đó có cả biến động do thông tin mới tác động lên giá trị hiệu quả. Phương sai chịu ảnh hưởng của tin tức này có thể thay đổi dù cơ chế chênh lệch không đổi. Hiệp phương sai chưa chuẩn hóa có quan hệ trực tiếp với bình phương chênh lệch trong mô hình; thay bằng tự tương quan sẽ làm thay đổi ước lượng và cách diễn giải. Nếu nghiên cứu dùng logarit giá, lợi suất được nhân tỷ lệ hoặc mẫu số khác, hãy nêu rõ quy ước đó.

Giả sử một mẫu lợi suất logarit giả định từ giá giao dịch được biểu thị bằng điểm cơ bản và hiệp phương sai mẫu bậc một sau khi trừ trung bình là \(-1.44\,\text{bp}^2\). Ước lượng là

\[ \widehat s_{\text{Roll}}=2\sqrt{-(-1.44)}=2\sqrt{1.44}=2(1.20)=2.40\,\text{bp}. \]

Theo mô hình, đây là ước lượng chênh lệch theo tỷ lệ toàn phần bằng \(2.40\) điểm cơ bản, tương đương \(0.024\%\). Với giá trung bình giả định là \(\$100\), phép quy đổi gần đúng sang đô la khi chênh lệch nhỏ là

\[ \$100\times 0.00024=\$0.024 \]

mỗi cổ phiếu cho toàn bộ chênh lệch. Một nửa số đó, khoảng \(\$0.012\) mỗi cổ phiếu, là khoảng cách từ giá trung bình đến một phía. Nếu báo giá không đổi và nhà giao dịch mua tại giá chào bán rồi bán tại giá chào mua 1.000 cổ phiếu, chênh lệch giá từ toàn bộ spread sẽ khoảng \(\$24\), trước hoa hồng, phí khác, biến động giá hoặc tác động thị trường. Đây là phép quy đổi minh họa, không phải báo giá quan sát được hay chi phí khớp lệnh được đảm bảo.

Phép tính không cho biết liệu \(\$100\) có phải giá trung bình có thể khớp lệnh hay không, khối lượng khả dụng là bao nhiêu hoặc một lệnh sẽ được khớp ở mức giá nào. Một ước lượng Roll có thể gộp mẫu lịch sử thành một thống kê duy nhất và che khuất khác biệt theo thời điểm trong ngày, quy mô lệnh hoặc trạng thái thị trường. Đừng so sánh ước lượng với chênh lệch đang được hiển thị nếu tài sản, khoảng thời gian và định nghĩa chênh lệch không khớp nhau.

Giả định \(s\) không đổi là một đơn giản hóa. Roll cũng xét trường hợp chênh lệch thay đổi theo thời gian và suy ra mối liên hệ với trung bình bình phương chênh lệch trong mô hình. Khi đó, áp dụng công thức căn bậc hai thường tương ứng với chênh lệch căn bậc hai của trung bình bình phương, chứ không nhất thiết là chênh lệch trung bình số học. Vì chênh lệch xuất hiện dưới dạng bình phương, một vài quan sát có spread rộng có thể ảnh hưởng không cân xứng đến ước lượng.

Bài báo gốc cũng đưa ra một kết quả có thể nghe rộng hơn phạm vi thực tế: theo các giả định của mô hình, hiệp phương sai kỳ vọng do chênh lệch gây ra không phụ thuộc độ dài của khoảng quan sát không chồng lấn. Điều đó không đảm bảo các ước lượng thực nghiệm theo ngày, tuần và trong ngày sẽ giống nhau. Dấu giao dịch thực tế có thể kéo dài qua nhiều quan sát, một số khoảng không có giao dịch và điều kiện chênh lệch thay đổi. Thay đổi khoảng lấy mẫu cũng thay đổi giao dịch nào trở thành giá mẫu và lượng nhiễu thông tin đi vào từng lợi suất.

Hãy chọn quy tắc lấy mẫu trước khi xem kết quả. Chẳng hạn, hãy so sánh giá giao dịch được lấy mẫu nhất quán thay vì trộn giao dịch đóng cửa chính thức, dấu giá trung bình và giá giao dịch cuối cùng đã cũ. Nêu rõ lợi suất trải qua thời gian lịch hay phiên giao dịch, ngày nghỉ và thời kỳ không giao dịch được xử lý thế nào, và có điều chỉnh hành động doanh nghiệp hoặc chuyển kỳ hạn hợp đồng hay không. Khoảng lấy mẫu khác nhau tạo thành thiết kế thực nghiệm khác nhau dù cùng áp dụng một công thức.

Căn bậc hai chỉ cho giá trị thực khi hiệp phương sai mẫu âm. Nếu \(\widehat C_1=0\), phép tính thay thế trực tiếp cho kết quả bằng không; nếu \(\widehat C_1>0\), công thức cơ bản không xác định. Hiệp phương sai mẫu bằng không hoặc dương không phải bằng chứng rằng chênh lệch thực bằng không. Nó có thể phản ánh nhiễu lấy mẫu, hướng giao dịch có tính dai dẳng, giá rời rạc, lợi suất giá trị hiệu quả phụ thuộc theo chuỗi, hoặc chênh lệch quá nhỏ để phân biệt với nhiễu trong một mẫu ngắn.

Một số triển khai thực nghiệm thay hiệp phương sai dương bằng không trước khi lấy căn bậc hai. Cách khác dùng giá trị tuyệt đối hoặc chỉ báo cáo các cửa sổ có hiệp phương sai âm. Các lựa chọn này có thể tạo ra một con số, nhưng là quy tắc bổ sung chứ không phải hệ quả từ phương trình Roll. Hãy báo cáo có bao nhiêu ước lượng không xác định, tần suất ước lượng bị đặt về không và việc loại bỏ có làm thay đổi mẫu hay không. Lấy giá trị tuyệt đối mà không giải thích có thể biến hiệp phương sai trái với mô hình thành ước lượng chênh lệch dương.

Mẫu nhỏ còn tạo thêm vấn đề. Bản thân hiệp phương sai được ước lượng có sai số rồi mới qua phép biến đổi căn bậc hai. Harris phân tích tính chất mẫu hữu hạn trong mô hình Roll và cho thấy nhiễu có thể tạo ra hiệp phương sai mẫu dương, còn phép biến đổi phi tuyến có thể gây sai lệch đáng kể (Harris, 1990). Hãy nêu độ dài mẫu cùng với ước lượng điểm và cho thấy độ nhạy trước các thay đổi cửa sổ hợp lý; đừng trình bày độ chính xác vượt quá mức dữ liệu giá hỗ trợ.

Phép suy ra đơn giản cần nhiều giả định hơn là hiệp phương sai âm. Nó giả định giao dịch do bên mua và bên bán khởi xướng độc lập, có xác suất bằng nhau; chênh lệch đối xứng quanh giá trị hiệu quả; đổi mới của giá trị hiệu quả không có hiệp phương sai theo chuỗi; và quy trình lấy mẫu phản ánh cơ chế giá giao dịch. Việc chia nhỏ lệnh thị trường và quản lý tồn kho có thể làm dấu giao dịch dai dẳng. Nếu lệnh mua thường đến theo chuỗi, lợi suất giao dịch có thể giữ lại thành phần chênh lệch dương và hiệp phương sai âm yếu hơn dự báo của mô hình.

Đường đi của giá trung bình cũng có thể phụ thuộc theo chuỗi. Động lượng, đảo chiều, giá cũ, quan sát không đồng bộ hoặc điều chỉnh giá theo lịch có thể tạo ra hiệp phương sai lợi suất dương hoặc âm ngay cả khi chênh lệch hiệu quả không thay đổi tương ứng. Tính rời rạc của giá và tác động của bước giá cũng có thể tự tạo ra đảo chiều. Các yếu tố này không cần chi phối mẫu mới quan trọng: ước lượng suy ra chênh lệch từ một moment, vì vậy bất kỳ quá trình nào khác tác động đến moment đó đều có thể làm nhiễu kết quả.

Biến động theo thời gian cũng tạo ra khác biệt giữa trung bình mẫu và đặc tính ổn định của thị trường. Chênh lệch có thể rộng ra quanh thời điểm công bố tin, lúc mở cửa và đóng cửa, khi giao dịch mỏng hoặc trong giai đoạn căng thẳng thị trường. Ước lượng toàn kỳ có thể che khuất các thời điểm đó; cửa sổ ngắn lại có thể quá nhiễu để ước lượng hiệp phương sai. Hãy xem xét chuỗi thời gian và báo cáo cách xác định cửa sổ. Hiệp phương sai theo chuỗi âm phù hợp với bid–ask bounce trong mô hình, nhưng không phải là phân rã nhân quả của mọi biến động giá ngắn hạn.

Nếu có dữ liệu báo giá và giao dịch đáng tin cậy, có thể tính trực tiếp chênh lệch hiệu quả bằng cách so sánh từng giá giao dịch với giá trung bình đồng thời và tính đến hướng giao dịch. Cách này cần các quan sát được đồng bộ, làm sạch cùng quy tắc rõ ràng để xử lý báo giá khóa, chéo, cũ hoặc sai thứ tự. Nó đo các giao dịch quan sát được trong tập dữ liệu đó, còn Roll suy ra chênh lệch từ hiệp phương sai theo chuỗi của giá giao dịch. Hướng dẫn phân loại hướng giao dịch giải thích vì sao bản thân dấu giao dịch đôi khi cũng cần quy tắc ước lượng.

Các phương pháp tần suất thấp khác dùng thông tin và giả định khác. Hasbrouck phát triển ước lượng Gibbs sampler từ giá đóng cửa hàng ngày thay vì chỉ dựa vào phép biến đổi thay thế trực tiếp cơ bản của Roll (Hasbrouck, 2009). Corwin và Schultz dùng giá cao nhất và thấp nhất trong ngày để xây dựng ước lượng chênh lệch mà không dựa vào cùng động học hướng giao dịch (Corwin and Schultz, 2012). Các lựa chọn này không khiến chênh lệch báo giá trở nên quan sát được từ bất kỳ chuỗi giá nào; mỗi phương pháp có giả định và phạm vi kiểm chứng riêng.

Câu hỏi thực tế quyết định nên dùng thước đo nào. Với so sánh thị trường lịch sử khi dữ liệu báo giá hạn chế, một đại diện tần suất thấp có thể hữu ích nếu báo cáo tỷ lệ thất bại và giả định. Khi quyết định đặt lệnh, hãy kiểm tra bid, ask, độ sâu thị trường và quy mô lệnh hiện tại. Hướng dẫn chênh lệch và trượt giá futures phân biệt chênh lệch báo giá với khác biệt thực hiện giao dịch; hướng dẫn thanh khoản ETF giải thích vì sao khối lượng không đủ để mô tả thanh khoản có thể khớp lệnh.

Một báo cáo có thể tái lập cần nêu rõ các quan sát là giao dịch, giá đóng cửa chính thức hay đại diện khác cho giá giao dịch; đầu vào là thay đổi giá hay lợi suất logarit; khoảng lấy mẫu; số quan sát; mẫu số của hiệp phương sai; và cách xử lý hiệp phương sai bằng không hoặc dương. Cũng cần nêu phạm vi tài sản, khoảng ngày, điều chỉnh hành động doanh nghiệp và chuyển kỳ hạn hợp đồng, bộ lọc dữ liệu, và chênh lệch được báo cáo theo đơn vị giá, phần trăm hay điểm cơ bản. Nếu giả định chênh lệch ổn định không hợp lý, hãy trình bày ước lượng trên các giai đoạn con được định trước thay vì chọn cửa sổ có hiệp phương sai âm nhất.

Ước lượng Roll là đại diện cho chi phí giao dịch lịch sử theo một mô hình. Nó không cho biết báo giá hôm nay, không đảm bảo giá khớp lệnh, không đo toàn bộ chi phí của chiến lược và không dự báo lợi suất tiếp theo. Đánh giá backtest vẫn cần mô hình chi phí và thực hiện tính đến quy mô lệnh, hoa hồng, tác động thị trường, khớp lệnh một phần và thời điểm. Ước lượng chênh lệch thấp hơn không tự nó chứng minh có lợi thế giao dịch. Để xem rộng hơn về biến động quan sát được ở các tần suất lấy mẫu khác nhau, hãy xem hướng dẫn về biến động thực hiện.