Giải thích mô hình Heston và stochastic volatility

Black-Scholes dùng một volatility cố định trong suốt vòng đời hợp đồng. Thay vào đó, giá quyền chọn thị trường hàm ý các volatility khác nhau theo strike, ngày đáo hạn và thời gian

Mô hình stochastic-volatility coi variance là một biến trạng thái ngẫu nhiên khác. Bất định ngày mai phụ thuộc cả mức tài sản lẫn variance đạt được dọc path

Điều này thêm động lực thực tế nhưng cũng tạo một nguồn rủi ro không giao dịch. Muốn có giá đầy đủ cần giả định về cách rủi ro variance được định giá

Diffusion của tài sản dùng √vₜ làm volatility tức thời. Variance tuân theo dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ dưới một pricing measure đã chọn

Variance hiện tại v₀ đặt điểm bắt đầu. Theta là mức variance dài hạn, kappa là tốc độ mean-reversion và xi là volatility của variance

Số hạng căn bậc hai scale các cú sốc variance theo trạng thái hiện tại. Các tham số nằm trong đơn vị variance, nên không nên đọc theta trực tiếp như một tỷ lệ volatility

Khi variance cao hơn theta, drift kéo nó xuống; khi thấp hơn theta, drift kéo nó lên. Kappa kiểm soát tốc độ lực kéo đó hoạt động

Mean reversion nhanh khiến cú sốc hiện tại ảnh hưởng nhiều hơn đến các maturity ngắn so với maturity xa. Reversion chậm phân bổ ảnh hưởng xa hơn trên term structure

Kappa và theta có thể bù trừ trong calibration. Một đường cong fit hợp lý không bảo đảm một trong hai tham số được identification chính xác

Cú sốc Brownian của spot và variance có tương quan rho. Rho âm nghĩa là cú sốc spot âm có xu hướng đi cùng cú sốc variance dương

Kênh giống leverage đó giúp tạo downside skew của cổ phiếu: spot giảm và variance tăng củng cố giá trị của quyền chọn downside

Rho không phải tương quan lịch sử giữa return và một series IV được báo giá. Đó là tham số mô hình tức thời dưới measure và calibration đã chọn

Xi kiểm soát tính ngẫu nhiên của variance. Xi cao hơn mở rộng phân phối variance tương lai và có thể tăng độ cong giữa các strike và maturity

Ảnh hưởng của nó tương tác với rho, kappa, theta và v₀. Một tham số không ánh xạ gọn gàng vào một đặc trưng nhìn thấy duy nhất trên bề mặt implied-volatility

Điều kiện Feller 2κθ ≥ ξ² là điều kiện đủ cho variance dương nghiêm ngặt trong quá trình lý tưởng, nhưng implementation và rời rạc hóa vẫn quan trọng

Calibration chọn các tham số giảm thiểu sai số giữa giá quyền chọn thị trường hoặc implied volatility với mô hình trên một grid đã chọn

Kết quả phụ thuộc trọng số mục tiêu, cách xử lý bid-ask, maturity, strike, bound, optimizer, rates, dividends và lựa chọn tích phân số

Nhiều bộ tham số có thể fit tương tự. Hãy báo cáo sai số giá và độ ổn định tham số, đồng thời kiểm tra mô hình đã calibration trên các hợp đồng không dùng trong fit

Heston cơ bản có path liên tục, một nhân tố variance và tham số cố định. Thị trường thực có thể jump, thay đổi regime, có sự kiện carry và di chuyển skew khác đi

Các cánh sâu và maturity rất ngắn có thể cho thấy jump bị bỏ sót. Maturity dài có thể bộc lộ mean reversion không ổn định hoặc nhu cầu dùng nhiều nhân tố

Dùng Heston như một engine kịch bản nhất quán, không phải bằng chứng về quá trình thật. Stress jump, tham số, chuyển động bề mặt, thanh khoản và hedging error bên ngoài mô hình đã fit