Giải thích quá trình Lévy và jump compensator

Với một quá trình Lévy X, các gia số trên những khoảng rời nhau độc lập và luật của X_{t+h}-X_t chỉ phụ thuộc vào h

Tính liên tục ngẫu nhiên loại bỏ các gián đoạn cố định theo xác suất, còn một phiên bản càdlàg cho đường đi liên tục phải bên phải với giới hạn bên trái

Vì vậy mô hình có luật gia số đồng nhất theo thời gian, một giả định mạnh hữu ích về mặt giải tích nhưng có thể kiểm tra bằng dữ liệu

Một quy ước cắt ngọn cho bộ ba (b, σ², ν): drift, phương sai Brown và Lévy jump measure

Measure ν ghi nhận cường độ jump kỳ vọng theo kích thước và phải thỏa ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞

Thay đổi hàm cắt ngọn có thể đổi drift b được báo cáo, nhưng không đổi luật khi mọi số hạng của bộ ba được biến đổi nhất quán

Hàm đặc trưng có dạng E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u)), trong đó ψ được xác định bởi bộ ba

Gia số dừng độc lập biến phép chập theo thời gian thành phép nhân, từ đó trở thành tỷ lệ tuyến tính của characteristic exponent

Cấu trúc này hỗ trợ phương pháp quyền chọn Fourier, nhưng phép đảo số vẫn cần kiểm soát damping, lưới và cắt ngọn

Phân rã viết X thành drift, thành phần Brown, jump lớn và jump nhỏ đã bù

Jump lớn có cường độ đến hữu hạn trên mọi ngưỡng cố định; vô hạn jump nhỏ có thể xảy ra trong thời gian hữu hạn

Hoạt động vô hạn và biến thiên vô hạn là các thuộc tính khác nhau, vì vậy phải kiểm tra các tích phân của ν thay vì suy ra thuộc tính này từ thuộc tính kia

Gọi N(dt,dx) là số đếm jump có kích thước x; với một quá trình Lévy, compensator của nó là dtν(dx)

Measure đã bù Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx) trừ các lần đến jump có thể dự đoán và tích hợp các bất ngờ phù hợp thành một local martingale

Tổng jump thô và tích phân đã bù có drift khác nhau, vì vậy chuyển đổi giữa chúng mà không điều chỉnh biến thiên hữu hạn sẽ làm thay đổi mô hình

Mô hình tài sản thường đặt S_t = S_0e^{X_t} hoặc dùng stochastic exponential, nhưng tính dương tự nó không khiến giá chiết khấu là martingale

Characteristic exponent phải thỏa điều kiện moment mũ và điều kiện martingale liên quan dưới pricing measure đã chọn

Jump tạo ra rủi ro không thể hedge đầy đủ, vì vậy equivalent martingale measure có thể không duy nhất và định giá cần thêm một quy tắc lựa chọn

Jump Lévy có thể khớp skewness, đuôi dày và smile kỳ hạn ngắn tốt hơn khuếch tán thuần túy

Gia số dừng độc lập loại trừ volatility clustering, động lực leverage và cường độ jump thay đổi theo thời gian trừ khi mô hình được mở rộng

Hãy kiểm tra sự tồn tại moment, cắt jump nhỏ, hiệu chỉnh martingale, độ ổn định hiệu chỉnh, ngoại suy đuôi và sai số hedge ngoài mẫu