Giải thích large deviations và volatility smile

Định lý giới hạn trung tâm mô tả các dao động điển hình quanh trung bình, thường ở thang căn bậc hai

Lý thuyết large deviations thay vào đó hỏi xác suất của một tập xa giảm nhanh thế nào khi tham số tỷ lệ trở nên cực hạn

Nó hữu ích khi payoff quyền chọn tập trung vào các kết quả quá hiếm để xấp xỉ Gaussian cục bộ mô tả tốt

Với các biến X_ε có tốc độ a_ε tiến tới vô hạn, ký hiệu P(X_ε∈A)≈exp[−a_ε inf_{x∈A}I(x)] nắm bắt ý tưởng chính

Nguyên lý hình thức đưa ra các cận dưới và trên riêng cho tập mở và đóng, thay vì đẳng thức chính xác cho mọi sự kiện

Rate function I không âm và thường bằng không tại các trạng thái điển hình; một rate function tốt có các tập mức compact

Dưới các điều kiện Gärtner–Ellis, hàm sinh cumulant co giãn giới hạn Λ(θ) có thể cho I(x)=sup_θ{θx−Λ(θ)}

Biến đổi Legendre–Fenchel này chọn độ nghiêng hàm mũ khiến endpoint hiếm trở nên điển hình dưới một measure đã thay đổi

Kết luận cần kiểm tra miền, tính khả vi và độ dốc; một biến đổi hữu hạn tại vài giá trị θ là chưa đủ

Quyền chọn out-of-the-money chỉ trả tiền vượt qua một strike, nên giá dẫn đầu có thể do trạng thái hoặc đường đi ít tốn kém nhất chạm tới vùng payoff đó chi phối

Nguyên lý co rút truyền rate function qua các ánh xạ như quy tắc từ đường đi tới giá cuối hoặc tổng hợp rổ

Sau khi ghép tiệm cận quyền chọn với một giá chuẩn, có thể suy ra hành vi dẫn đầu của implied volatility cho cùng chế độ tỷ lệ

Đáo hạn ngắn, nhiễu biến động nhỏ, đáo hạn dài và strike cực đoan là các giới hạn khác nhau, có thể tạo ra các rate function khác nhau

Một công thức được chứng minh với log-moneyness cố định khi kỳ hạn co lại không nhất thiết áp dụng khi strike cũng di chuyển theo kỳ hạn

Bậc hàm mũ dẫn đầu không xác định số hạng trước, độ cong kỳ hạn hữu hạn hay tốc độ smile được báo tiến tới giới hạn

Một smile tiệm cận vẫn có thể vi phạm tính đơn điệu của giá call, độ lồi theo strike, thứ tự lịch hoặc giới hạn giá khi dùng ngoài miền của nó

Một luật cuối trung lập rủi ro cũng phải giữ điều kiện martingale của tài sản chiết khấu, điều mà một xấp xỉ đuôi tiện dụng có thể bỏ sót

Hãy dùng lý thuyết như ràng buộc cấu trúc hoặc hướng dẫn ngoại suy, sau đó áp đặt static arbitrage lên toàn bộ bề mặt giá

Ước tính log xác suất hoặc giá quyền chọn qua nhiều giá trị ε hay kỳ hạn, rồi kiểm tra slope có ổn định ở rate dự đoán không

So sánh với giá Monte Carlo, biến đổi hoặc PDE khi có thể, bao gồm vùng gần ranh giới giữa sự kiện trung tâm và sự kiện hiếm

Ghi lại tỷ lệ, measure, biến trạng thái, miền rate function, cách xử lý prefactor và kiểm tra arbitrage cùng mỗi triển khai