Giải thích phép biến đổi Esscher trong định giá quyền chọn

Đối với biến ngẫu nhiên X có M(θ) = E[e^{θX}] hữu hạn, định nghĩa dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)

θ dương nhấn mạnh các kết quả lớn hơn và θ âm nhấn mạnh các kết quả nhỏ hơn, trong khi phép chuẩn hóa khiến các trọng số mới có tổng bằng một

Phép biến đổi thay đổi xác suất, không thay đổi các kết quả đã quan sát, và chỉ tồn tại ở nơi moment hàm mũ là hữu hạn

Gọi κ(u) = log E[e^{uX}] trên miền moment của nó

Dưới độ đo Esscher, cumulant là κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)

Các đạo hàm của κ_θ tại zero cho các moment đã nghiêng khi hữu hạn, khiến phép biến đổi thuận tiện cho phương pháp saddlepoint và tính toán rủi ro

Đối với một quá trình Lévy X_t, quá trình mật độ là Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))

Các gia số độc lập và dừng khiến Z là một martingale dương khi θ nằm trong miền moment hợp lệ

Dưới Q_θ, quá trình vẫn là Lévy, nhưng drift và luật bước nhảy thay đổi trong khi kết quả đường đi và các sự kiện không đều vẫn tương thích

Theo các quy ước phù hợp, độ đo bước nhảy thay đổi từ ν(dx) thành ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)

Phương sai Brownian không đổi, còn drift điều chỉnh theo phép nghiêng Brownian, bù trừ bước nhảy và quy ước cắt ngọn

Vì vậy, so sánh các tham số drift mà không nêu hàm cắt ngọn có thể tạo ra một khác biệt giả

Đối với S_t = S_0e^{X_t} với carry r-q, tính martingale của giá chiết khấu yêu cầu κ_θ(1) = r-q

Tương đương, giải κ(θ+1) - κ(θ) = r-q khi cả hai moment hàm mũ đều tồn tại

Phương trình có thể không có nghiệm, có một nghiệm hoặc bất ổn số gần biên moment; lựa chọn tham số không tự động

Rủi ro bước nhảy nhìn chung không được bao phủ hoàn toàn, vì vậy nhiều độ đo martingale tương đương có thể thỏa điều kiện không kinh doanh chênh lệch

Quy tắc Esscher chọn một độ đo bằng cách giữ lại một họ mô hình được nghiêng theo hàm mũ, nhưng riêng điều kiện không kinh doanh chênh lệch không ưu tiên nó so với mọi lựa chọn khác

Ưu tiên kinh tế, mục tiêu hiệu chỉnh, tiêu chí entropy, mục tiêu phòng hộ hoặc thông lệ thị trường có thể hàm ý một độ đo khác

Kiểm tra miền moment của θ và θ+1, chuẩn hóa mật độ, support tương đương, đẳng thức martingale và bộ ba đã biến đổi

Hiệu chỉnh lại qua các kỳ hạn và chế độ, vì một θ ổn định trong mẫu có thể che giấu ngoại suy đuôi bất ổn

So sánh giá quyền chọn và sai số phòng hộ dưới các độ đo được phép khác nhau để phơi bày chi phí rủi ro mô hình của lựa chọn Esscher