Giải thích khai triển Edgeworth so với Gram–Charlier

Sau khi chuẩn hóa một biến, cả hai phương pháp thường viết các hiệu chỉnh cho mật độ chuẩn bằng đa thức Hermite

Skewness tạo ra một hiệu chỉnh bất đối xứng, còn excess kurtosis thay đổi hình dạng vai và đuôi so với tham chiếu Gaussian

Ký hiệu chung khiến hai khai triển trông có thể thay thế cho nhau dù cách suy ra và cách diễn giải của chúng khác nhau

Chuỗi Gram–Charlier biểu diễn một mật độ mục tiêu thông qua các đạo hàm của mật độ tham chiếu được gắn trọng số bởi chênh lệch cumulant

Một phép cắt ngắn thực tế có thể giữ các số hạng skewness và kurtosis vì chúng dễ diễn giải, không phải vì chúng chia sẻ một bậc sai số được kiểm soát

Hội tụ có thể kém hoặc không tồn tại, và thêm các số hạng hình thức không nhất thiết cải thiện phép xấp xỉ tại một điểm đã chọn

Đối với các tổng đã chuẩn hóa, cumulant co lại theo những tốc độ đã biết trong n, cho phép nhóm các hiệu chỉnh theo những lũy thừa như n^{-1/2}

Ở bậc tiếp theo, các số hạng có thể bao gồm cả cumulant bậc 4 và bình phương của cumulant bậc 3, không chỉ đơn giản là đa thức Hermite tiếp theo

Vì vậy một khai triển Edgeworth cắt ngắn chỉ có ý nghĩa cùng với chuỗi, chuẩn hóa và miền được tuyên bố là có giá trị tiệm cận

Định giá quyền chọn xấp xỉ có thể tích phân payoff theo một mật độ trung hòa rủi ro đã hiệu chỉnh hoặc khai triển quanh một benchmark như Black–Scholes

Jarrow–Rudd phát triển một khai triển quanh một phân phối xấp xỉ được chọn, trong khi Corrado–Su điều chỉnh hiệu chỉnh Gram–Charlier cho skewness và kurtosis

Các cumulant được fit là đại lượng định giá trung hòa rủi ro khi suy ra từ quyền chọn, không phải dự báo trực tiếp về tần suất lợi nhuận thực tế

Nhiều phân phối có chung bốn moment đầu tiên nhưng gán các xác suất rất khác nhau cho sự sụp đổ hoặc đợt tăng cực đoan

Hiệu chỉnh Hermite tăng nhanh khi rời xa trung tâm, nên một số hạng nhỏ gần trung bình có thể chi phối và dao động ở phần đuôi

Các moment mẫu hoặc hàm ý cao hơn cũng nhiễu, khiến hệ số không ổn định và phụ thuộc mạnh vào khoảng strike dùng để hiệu chỉnh

Mật độ xấp xỉ có thể trở nên âm, không tích phân bằng 1 hoặc tạo ra một CDF giảm trên một phần miền của nó

Trong không gian quyền chọn, các khiếm khuyết đó có thể xuất hiện dưới dạng giá nằm ngoài cận hoặc vi phạm tính đơn điệu theo strike và tính lồi butterfly

Chuẩn hóa lại chỉ sửa tổng khối lượng; tự nó không khôi phục tính dương, trung bình forward hay mọi điều kiện không kinh doanh chênh lệch

Hãy nêu luật tham chiếu, phép chuẩn hóa, bậc tiệm cận được giữ, quy ước cumulant và vùng strike trước khi diễn giải các hệ số

Kiểm tra tính dương và chuẩn hóa của mật độ, khôi phục forward đã chiết khấu, và kiểm tra tính đơn điệu và tính lồi của giá call trên một lưới rộng hơn

So sánh ngoài mẫu với một mô hình mật độ dương hoặc nội suy quyền chọn trực tiếp, đặc biệt trước khi ngoại suy vượt ra ngoài các strike thanh khoản