Giải thích định giá quyền chọn bằng hàm đặc trưng

Với biến ngẫu nhiên thực X, φ(u)=E[e^{iuX}] được xác định với mọi tần số thực u vì số mũ phức có mô-đun bằng một.

Khác với hàm sinh moment, hàm này không cần các moment mũ hữu hạn chỉ để tồn tại trên trục thực.

Các giá trị của nó trên nhiều tần số xác định duy nhất quy luật của X và cùng lúc mã hóa vị trí, độ phân tán, tính bất đối xứng, đuôi và các điểm gián đoạn.

Với payoff châu Âu h(S_T), một giá cơ bản dưới độ đo trung hòa rủi ro là E^Q[e^{-∫r ds}h(S_T)] trong các điều kiện bảo đảm độ đo đó.

Các phương pháp biến đổi thường đặt X_T=log S_T hoặc log giá kỳ hạn, nhưng chiết khấu và quy ước numeraire chính xác phải khớp với phép biến đổi.

Không thể đưa hàm đặc trưng dưới độ đo thực vào giá trung hòa rủi ro nếu chưa xác định đúng phép đổi độ đo.

Khi đủ điều kiện chính quy, một tích phân Fourier ngược khôi phục mật độ từ φ; các hàm phân phối cũng có thể được khôi phục bằng các công thức nghịch đảo.

Phép nghịch đảo Gil–Pelaez biểu diễn xác suất đuôi hoặc xác suất tích lũy bằng một tích phân chứa phần ảo của e^{-iux}φ(u)/u.

Đây là các tích phân suy rộng, nên hành vi gần 0 và tại các tần số lớn cần giới hạn giải tích và sự cẩn trọng về số học.

Payoff call tăng theo S_T, vì vậy phép biến đổi Fourier của nó không khả tích trên toàn trục thực nếu không giảm biên độ hoặc dịch đường bao.

Có thể biến đổi một giá đã giảm biên độ, biến đổi payoff trong một dải thích hợp hoặc phân rã call thành xác suất tài sản và xác suất strike đã chiết khấu.

Các công thức khác nhau có thể tương đương về mặt toán học nhưng dùng dấu, chuẩn hóa, biến trạng thái và đối số phức khác nhau.

Black–Scholes, Heston, các mô hình khuếch tán-nhảy affine và nhiều mô hình Lévy cung cấp hàm đặc trưng dễ hơn mật độ chuyển tiếp.

Hàm đặc trưng phản ánh giả định mô hình, tham số trung hòa rủi ro, chân trời, trạng thái ban đầu và mọi tương quan hoặc bộ bù cho bước nhảy.

Biết φ là một lợi thế tính toán, không phải bằng chứng rằng động lực đã chọn phù hợp với giá quyền chọn quan sát được hoặc lợi nhuận tương lai.

Cận tích phân hữu hạn tạo ra sai số cắt cụt, khoảng cách tần số tạo ra sai số cầu phương, và lưới FFT có thể tạo thêm sai số aliasing và nội suy.

Sự triệt tiêu dao động và nhánh của logarit phức có thể tạo ra các mức giá trông trơn tru nhưng sai nếu xử lý không nhất quán.

Cầu phương thích nghi, biến kiểm soát, giảm biên độ, công thức thay thế và độ chính xác cao hơn xử lý các loại sai số khác nhau chứ không phải một khiếm khuyết chung duy nhất.

Kiểm tra φ(0)=1, tính đối xứng liên hợp φ(−u)=overline{φ(u)} và moment martingale cần thiết theo quy ước giá tài sản.

So sánh với Black–Scholes hoặc một giới hạn đã biết khác, đẳng thức put–call, tính đơn điệu, tính lồi và một phương pháp số độc lập.

Sau đó thay đổi cận, lưới, mức giảm biên độ, dung sai, kỳ hạn và strike; các chữ số ổn định nên vẫn còn sau những thay đổi tính toán hợp lý.