Giải thích phương pháp COS để định giá quyền chọn

Giả sử trạng thái log cuối kỳ X có hàm đặc trưng đã biết và một quyền chọn trả v(X) khi đáo hạn

Sau khi chiết khấu dưới measure định giá tương ứng, giá trị cần tìm là tích phân của v(x) theo mật độ có điều kiện của X

COS xấp xỉ tích phân đó bằng một chuỗi cosine hữu hạn thay vì mô phỏng đường đi hoặc giải ngược trên một lưới giá theo thời gian

Vì log-price thường nằm trên trục số thực, phương pháp chọn một khoảng hữu hạn [a,b] chứa phần lớn khối lượng xác suất có ý nghĩa kinh tế

Xác suất nằm ngoài [a,b] tạo ra sai số cắt miền trước khi bỏ qua bất kỳ hạng cosine nào

Khoảng quá hẹp bỏ sót đuôi; khoảng rộng không cần thiết lại cần nhiều hạng hơn để phân giải cùng các đặc trưng cục bộ

Trên [a,b], mật độ được khai triển theo cos(kπ(x−a)/(b−a)) với k là số nguyên không âm

Các hệ số cosine của nó được xấp xỉ từ Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}, tránh phải khôi phục rõ ràng toàn bộ mật độ

Hạng tần số bằng không nhận một nửa trọng số trong tổng có dấu phẩy thường dùng, một quy ước nhỏ nhưng ảnh hưởng đáng kể đến mức giá

Mỗi hệ số mật độ được nhân với tích phân tương ứng của v(x) theo cơ sở cosine trên [a,b]

Với call và put European, các hệ số payoff này có dạng giải tích; payoff khác có thể cần tích phân số ổn định

Khi tách riêng hệ số của mô hình và hệ số payoff, nhiều strike hoặc hợp đồng có thể dùng lại phần lớn công việc biến đổi

Mật độ trơn với các hệ số cosine giảm nhanh có thể cho hội tụ rất nhanh, thường là hội tụ mũ, khi số hạng N tăng

Đáo hạn ngắn, mật độ sắc, atom, đuôi nặng hoặc payoff gián đoạn có thể làm hội tụ chậm và tạo ringing gần các điểm không trơn

Vì vậy, danh tiếng về tốc độ của phương pháp là kết quả phụ thuộc vào độ trơn, không phải một bảo đảm độ chính xác cố định cho mọi mô hình và payoff

Một heuristic phổ biến dùng cumulant, chẳng hạn c₁±L√(c₂+√c₄), khi các cumulant đó tồn tại và quy ước được áp dụng

Quy mô L không mang tính phổ quát, còn cumulant bậc cao không đáng tin hoặc không tồn tại có thể khiến quy tắc khoảng quen thuộc gây hiểu lầm

Các cận xác suất đuôi, khoảng tham chiếu rộng hơn và độ ổn định qua các lựa chọn [a,b] cung cấp bằng chứng mạnh hơn một thiết lập heuristic duy nhất

Mở rộng [a,b] trong khi giữ N đủ lớn để chẩn đoán cắt miền, sau đó tăng N trên một khoảng ổn định để kiểm tra hội tụ chuỗi

Kiểm tra hàm đặc trưng tại số không, quy ước nửa trọng số, chiết khấu, hệ số payoff, parity, các cận, tính đơn điệu và tính lồi

So sánh một số giá được chọn với tích phân Fourier trực tiếp hoặc một phương pháp độc lập khác trước khi dùng COS bên trong các vòng lặp hiệu chỉnh