Bipower Variation: Giải thích phương sai thực hiện bền vững trước bước nhảy

Phương sai thực hiện tần suất cao cộng bình phương các lợi suất log trong ngày. Trong mô hình semimartingale phù hợp, khi khoảng lấy mẫu nhỏ dần, RV hội tụ về biến thiên bậc hai. Nếu đường đi của giá gồm cả khuếch tán liên tục lẫn bước nhảy, giới hạn này chứa phương sai tích phân và tổng bình phương các bước nhảy. Vì vậy, RV hữu ích để đo tổng biến động ex post, nhưng tự nó không cho biết phần nào đến từ chuyển động liên tục và phần nào đến từ các điểm gián đoạn.

Bipower variation dùng một thành phần khác: thay vì bình phương một lợi suất, nó nhân độ lớn của hai lợi suất liền kề. Trong mô hình giới hạn, một bước nhảy cô lập thường nằm trong một khoảng lợi suất, còn lợi suất kế bên thường là một gia số khuếch tán nhỏ. Khi lưới quan sát dày hơn, tích giữa lợi suất có bước nhảy và lợi suất bên cạnh giảm đi; tích của các lợi suất khuếch tán liền kề tiếp tục tích lũy biến động liên tục. Barndorff-Nielsen và Shephard đưa ra cách dùng power variation và bipower variation để tách phương sai tích phân khỏi biến động do các bước nhảy hiếm gặp dưới những mô hình cụ thể (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2004).

Mục tiêu là phương sai tích phân trong quá khứ \(\int_0^T \sigma_t^2\,dt\), không phải dự báo biến động của kỳ tiếp theo. Hướng dẫn tính realized volatility giải thích thước đo dựa trên bình phương lợi suất; bài viết này tập trung vào lý do tích các lợi suất tuyệt đối liền kề phản ứng khác với bước nhảy.

Xét một quá trình log giá trong một cửa sổ cố định:

\[ X_t=X_0+\int_0^t b_s\,ds+\int_0^t \sigma_s\,dW_s+J_t, \]

trong đó hạng đầu tiên sau \(X_0\) là xu thế có biến thiên hữu hạn, \(\sigma_t\) là độ biến động tức thời của thành phần khuếch tán và \(J_t\) là thành phần bước nhảy. Biến thiên bậc hai của quá trình được phân rã thành

\[ [X]_T=\int_0^T \sigma_t^2\,dt+\sum_{0<t\leq T}(\Delta X_t)^2, \]

với \(\Delta X_t=X_t-X_{t-}\). Thành phần đầu là phương sai tích phân liên tục; thành phần sau là biến động do bước nhảy. Mỗi bước nhảy đóng góp bình phương độ lớn của nó, bất kể hướng tăng hay giảm. Hướng dẫn về biến thiên bậc hai trong tài chính giải thích vì sao đại lượng theo đường đi này khác với phương sai của một tập hợp giá tĩnh.

Với \(n\) lợi suất log trong ngày \(r_i=X_{i\Delta}-X_{(i-1)\Delta}\), trong đó \(\Delta=T/n\), phương sai thực hiện là

\[ RV_n=\sum_{i=1}^{n}r_i^2. \]

Khi lưới thời gian mịn dần theo các điều kiện semimartingale thông thường, \(RV_n\) ước lượng toàn bộ biến thiên bậc hai, bao gồm cả bước nhảy. Vì vậy, nếu không giả định không có bước nhảy mà vẫn gọi RV là “biến động liên tục”, báo cáo đang trộn lẫn hai mục tiêu.

Gọi \(Z\) là biến ngẫu nhiên chuẩn tắc và \(\mu_1=E|Z|=\sqrt{2/\pi}\). Một quy ước thường dùng cho realized bipower variation là

\[ BV_n=\mu_1^{-2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}| =\frac{\pi}{2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}|. \]

Hệ số \(\pi/2\) chuẩn hóa tích của hai gia số Gaussian tuyệt đối về thang phương sai liên tục. Hệ số \(n/(n-1)\) là hiệu chỉnh điểm biên cho mẫu nhỏ trong một quy ước phổ biến; một số định nghĩa bỏ hệ số này vì nó tiến về một khi \(n\) tăng. Hãy nêu rõ quy ước dùng khi so sánh kết quả.

Tổng này sử dụng các cặp liền kề chồng lấn: lợi suất thứ hai ghép với lợi suất thứ nhất, lợi suất thứ ba ghép với thứ hai, v.v. Phương pháp không phân loại từng quan sát là “có bước nhảy” hay “không có bước nhảy”. Kết quả tiệm cận dựa trên thực tế rằng, dưới giả định số bước nhảy hữu hạn, chỉ có hữu hạn lân cận nhỏ chứa bước nhảy khi lưới dày dần; trong khi tích các lợi suất khuếch tán liền kề tạo ra giới hạn phương sai tích phân liên tục. Theo các giả định của mình, lý thuyết giới hạn cho phép nhiều dạng biến động ngẫu nhiên, bao gồm cả phụ thuộc kiểu đòn bẩy (Barndorff-Nielsen et al., 2006).

<!-- learn:illustration -->

Giả sử một phiên giao dịch giả định có bảy lợi suất log, tính theo điểm cơ bản:

Giả sử lợi suất thứ tư chứa một bước nhảy giả định duy nhất \(+12\) bp, còn chuyển động liên tục trong khoảng đó không đáng kể. Khi ấy

\[ RV_7=1+1+0.01+144+0.01+1+1=148.02\ \mathrm{bp}^2. \]

Tổng sáu tích tuyệt đối liền kề là \(4.60\ \mathrm{bp}^2\). Theo quy ước có hiệu chỉnh điểm biên nêu trên,

\[ BV_7=\frac{\pi}{2}\frac{7}{6}(4.60)\approx 8.42994\ \mathrm{bp}^2, \qquad RV_7-BV_7\approx139.59006\ \mathrm{bp}^2. \]

Bình phương độ lớn bước nhảy được thêm vào là \(12^2=144\ \mathrm{bp}^2\). Chênh lệch không đúng bằng 144: các tích liền kề quanh bước nhảy có các hạng \(12\times0.1\), và mẫu chỉ gồm bảy lợi suất cũng có biến động hữu hạn mẫu thông thường. Ví dụ nhỏ do chúng tôi dựng ra giúp kiểm tra phép tính; đây không phải dữ liệu thị trường quan sát được và không khẳng định rằng chênh lệch trong cửa sổ ngắn sẽ khôi phục chính xác biến động do bước nhảy.

Kết quả nhất quán tiêu chuẩn có điều kiện. Trong semimartingale có biến động ngẫu nhiên liên tục và số bước nhảy hữu hạn trong cửa sổ, BV hội tụ về phương sai tích phân liên tục khi quan sát ngày càng dày mà không có nhiễu vi cấu trúc thị trường. Trong cùng thiết lập, \(RV_n-BV_n\) hội tụ về tổng bình phương các bước nhảy. Đây là sự tách biệt tiệm cận, không phải bảo đảm cho mọi chuỗi lợi suất hay mọi lưới hữu hạn.

Điều kiện số bước nhảy hữu hạn rất quan trọng. Nếu có nhiều bước nhảy nhỏ hoặc hoạt động bước nhảy vô hạn, biến động do bước nhảy có thể đóng góp đáng kể vào các tích lợi suất tuyệt đối liền kề; kết quả BV tiêu chuẩn có thể không chỉ tách riêng thành phần Brown. Có thể cần mở rộng phương pháp, cắt ngưỡng hoặc dùng kiểm định bước nhảy khác, mỗi cách có giả định riêng. Aït-Sahalia và Jacod xây dựng một kiểm định bước nhảy tần suất cao khác với phạm vi semimartingale rộng hơn; đây là khung kiểm định thay thế, không phải bằng chứng rằng BV thông thường xử lý được mọi quá trình có bước nhảy (Aït-Sahalia & Jacod, 2009).

Thiết kế quan sát cũng quan trọng. Các lợi suất phải thuộc cùng một cửa sổ và dựa trên chuỗi giá có thể biện minh. Khoảng lấy mẫu thưa, báo giá cũ, giao dịch không đồng bộ, khoảng trống qua đêm và bước nhảy gần ranh giới phiên làm suy yếu cách diễn giải lưới mịn. Lấy mẫu dày hơn chỉ hữu ích nếu quan sát tiến gần giá hiệu quả tiềm ẩn, thay vì thêm nhiễu vi cấu trúc.

Trong mô hình tiệm cận không nhiễu với số bước nhảy hữu hạn, RV trừ BV ước lượng biến động do bước nhảy. Trong mẫu hữu hạn, chênh lệch có thể âm dù tổng bình phương bước nhảy không thể âm. Nguyên nhân là RV và BV là các ước lượng nhiễu của hai đại lượng giới hạn khác nhau. Không âm thầm ép giá trị âm về 0: việc cắt ngưỡng làm thay đổi tính chất lấy mẫu của ước lượng và phải được nêu thành quy tắc rõ ràng.

Một kiểm định thống kê trả lời câu hỏi khác: dưới giả thuyết không có bước nhảy, khoảng cách quan sát được có lớn so với độ bất định lấy mẫu hay không? Barndorff-Nielsen và Shephard xây dựng các kiểm định tiệm cận dựa trên realized power variation và bipower variation. Các phiên bản có thể áp dụng ước lượng quarticity phù hợp, thường qua các thước đo multipower, thay vì xem chênh lệch thô là ngưỡng ý nghĩa (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2006). Sau đó, threshold bipower variation được phát triển để giảm méo do bước nhảy trong mẫu hữu hạn và hỗ trợ suy luận dưới các giả thuyết thay thế có bước nhảy (Corsi, Pirino & Reno, 2010).

Ngay cả một bước nhảy được phát hiện vẫn là phân loại thống kê dựa trên mô hình, tần suất lấy mẫu và mức ý nghĩa đã chọn. Nó không xác định nguyên nhân tin tức, không chứng minh nhà giao dịch có thể khớp lệnh ở mức giá được ghi nhận, và không xác lập một chiến lược có lợi nhuận.

BV cổ điển không phải ước lượng tần suất cao bền vững trước nhiễu. Với giá quan sát \(Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}\), hiện tượng bid–ask bounce, làm tròn và cập nhật báo giá thêm nhiễu vào mỗi lợi suất. Vì BV nhân các giá trị tuyệt đối của lợi suất liền kề, nhiễu không biến mất chỉ vì công thức dùng tích liền kề. Khi lấy mẫu cực dày, đóng góp của nhiễu có thể càng đáng kể.

Đây là vấn đề khác với bước nhảy. Realized kernel và two-scale realized variance nhắm tới việc ước lượng biến động khi có nhiễu vi cấu trúc bằng những cấu trúc khác nhau; chúng không thể thay thế BV thông thường, và bền vững trước nhiễu không đồng nghĩa bền vững trước bước nhảy. Hướng dẫn realized kernel trình bày một phương pháp tập trung xử lý nhiễu.

Nếu câu hỏi nghiên cứu cần xử lý cả nhiễu lẫn bước nhảy, hãy dùng phương pháp được xây dựng cho cả hai đặc điểm và nêu rõ điều kiện. Podolskij và Vetter phát triển modulated bipower variation cho quan sát có nhiễu và xây dựng các phiên bản bền vững trước bước nhảy có hoạt động hữu hạn; đây là ước lượng đã điều chỉnh, không phải công thức chưa hiệu chỉnh ở trên (Podolskij & Vetter, 2009). Các lựa chọn thực tế có thể gồm lấy mẫu thưa hơn, pre-averaging, thước đo có ngưỡng hoặc ước lượng bền vững trước nhiễu. Mỗi lựa chọn làm thay đổi đại lượng mục tiêu, tham số điều chỉnh hoặc cách tính độ bất định.

Khi các giả định được đáp ứng, BV ước lượng thành phần phương sai tích phân liên tục trong quá khứ. RV ước lượng toàn bộ biến thiên bậc hai của đường đi có bước nhảy. Chênh lệch giữa chúng có thể ước lượng tiệm cận biến thiên bậc hai do bước nhảy. Không đại lượng nào tự động trở thành dự báo, giới hạn rủi ro hay tín hiệu vào lệnh. Mô hình dự báo có thể dùng RV và BV quá khứ làm các biến dự báo riêng, nhưng cần đánh giá ngoài mẫu và kiểm soát thời điểm thông tin khả dụng cùng chi phí giao dịch.

Căn bậc hai của ước lượng phương sai chỉ là thước đo biến động sau khi xác định rõ cửa sổ thời gian và đơn vị. Nếu lợi suất tính bằng điểm cơ bản, phương sai có đơn vị bp² và căn bậc hai có đơn vị bp cho cửa sổ được lấy mẫu. Quy đổi năm cần giả định rõ về tỷ lệ thời gian; nhân với hệ số lịch không loại bỏ bước nhảy, nhiễu vi cấu trúc hay lựa chọn đo lường qua đêm. Hướng dẫn rủi ro bước nhảy giải thích vì sao thay đổi giá không liên tục ảnh hưởng đến mức độ phơi nhiễm phòng hộ, nhưng không biến phân rã BV lịch sử thành chỉ dẫn giao dịch.

Nêu tài sản, nguồn giá (giao dịch, báo giá hay giá giữa bid và ask), định nghĩa lợi suất, tần suất lấy mẫu, ranh giới phiên và cách xử lý khoảng qua đêm cùng quan sát bị thiếu. Báo cáo công thức RV và BV, quy ước chuẩn hóa mẫu hữu hạn, số lượng lợi suất và đơn vị. Nếu tính \(RV-BV\), hãy trình bày chênh lệch thô và cho biết có áp dụng ngưỡng, cắt bỏ hay giới hạn giá trị không âm hay không.

Giải thích mô hình làm cơ sở cho cách diễn giải: biến động ngẫu nhiên liên tục với bước nhảy có hoạt động hữu hạn, hay mô hình bước nhảy rộng hơn dùng ước lượng khác. Công bố hiệu chỉnh nhiễu vi cấu trúc, thống kê kiểm định bước nhảy, ước lượng quarticity, mức ý nghĩa và điều chỉnh kiểm định nhiều lần nếu có. Báo cáo thước đo độ bất định cùng với phép phân rã.

Giá trị của bipower variation là tích các lợi suất tuyệt đối liền kề giữ được giới hạn của biến động liên tục, đồng thời giảm tác động tiệm cận của các bước nhảy cô lập có hoạt động hữu hạn. Cần nêu rõ các giới hạn: công thức tiêu chuẩn không phải bộ lọc bước nhảy phổ quát, không phải kiểm định ý nghĩa thống kê và không phải hiệu chỉnh nhiễu vi cấu trúc. Hãy giữ các giới hạn này khi dùng trong nghiên cứu hoặc phân tích rủi ro.