Quy trình affine và phương trình Riccati được giải thích

Với trạng thái Markov X, mô hình affine tìm E[e^{u·X_T}|X_t=x] = exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x), trong đó τ=T−t

Từ affine nói đến việc logarit của biến đổi có điều kiện này là một hằng số cộng với một hàm tuyến tính của trạng thái hiện tại

Đường đi vẫn có thể phi tuyến, có phương sai thay đổi và gián đoạn; phương sai căn bậc hai và cường độ nhảy đều có thể thuộc lớp này

Các trạng thái chính tắc thường kết hợp các tọa độ không âm, chẳng hạn phương sai hoặc cường độ, với các tọa độ thực không bị giới hạn, chẳng hạn log giá

Drift, diffusion và các độ đo nhảy phải thỏa điều kiện chấp nhận được để quy trình ở trong không gian trạng thái và xác định một luật Markov hợp lệ

Một công thức có vẻ affine là chưa đủ: phương sai âm, hoạt động nhảy bùng nổ hoặc điều kiện tồn tại thất bại có thể làm đặc tả không hợp lệ

Biến đổi có thể mã hóa hàm đặc trưng, biến đổi Laplace, moment, giá trái phiếu và các khối xây dựng payoff đã chiết khấu

Thay vì khôi phục toàn bộ mật độ chuyển tiếp, ta đánh giá φ và ψ tại đối số phức mà công thức định giá yêu cầu

Sự tách biệt này rất mạnh: mô hình ngẫu nhiên cung cấp một biến đổi, còn phép đảo hoặc biến đổi payoff chuyển nó thành giá

Thay ansatz mũ-affine vào phương trình toán tử sinh sẽ gom các hạng không đổi vào φ và các hạng tuyến tính theo trạng thái vào ψ

Kết quả là một hệ ghép như ∂τφ = F(ψ) và ∂τψ = R(ψ), với điều kiện ban đầu φ(0,u)=0 và ψ(0,u)=u

Các hạng diffusion khiến R có bậc hai, còn nhảy bổ sung các tích phân biến đổi, đó là lý do các phương trình được gọi là phương trình Riccati tổng quát

CIR dùng trạng thái căn bậc hai không âm, trong khi Heston ghép log giá với phương sai căn bậc hai và bảo toàn biến đổi chung affine

Các mô hình cấu trúc kỳ hạn và tín dụng affine có thể khiến lãi suất ngắn hạn, cường độ vỡ nợ hoặc compensator của nhảy là các hàm affine của trạng thái

Kiến trúc biến đổi chung không khiến các mô hình tương đương; mỗi mô hình có ràng buộc trạng thái, hành vi đuôi và ý nghĩa kinh tế khác nhau

Hàm đặc trưng tồn tại với tần số thực, nhưng moment mũ tại các đối số phức có thể chỉ tồn tại trong một miền giới hạn

Nghiệm Riccati có thể bùng nổ tại một chân trời hữu hạn, báo hiệu moment thất bại chứ không nhất thiết là sự kết thúc của quy trình xác suất cơ sở

Các biểu thức dạng đóng cũng cần các nhánh căn bậc hai và logarit nhất quán; những dạng đại số tương đương có thể hoạt động khác nhau trong số học dấu phẩy động

Kiểm tra giá trị ban đầu, quan hệ nửa nhóm, đối xứng liên hợp, điều kiện martingale và các trường hợp giới hạn đã biết trước khi định giá quyền chọn

Theo dõi bộ giải Riccati, miền biến đổi, tính liên tục của nhánh và độ nhạy với dung sai qua các lưới kỳ hạn và tham số

Tính khả giải affine giảm một bài toán khó thành các bài toán nhỏ hơn; nó không loại bỏ rủi ro hiệu chỉnh, sai số số học hoặc đặc tả sai mô hình