卡爾曼濾波避險比率：配對交易的動態迴歸

固定避險比率會在形成樣本中擬合一個係數，之後保持不變。動態避險模型則把截距和斜率視為可隨時間演變的潛在數值。卡爾曼濾波器結合前一次估計與新觀測的資訊，遞迴估計這些數值。

對兩項候選資產，令 \(y_t\) 表示其中一項資產的對數價格，\(x_t\) 表示另一項的對數價格。變動中的長期迴歸可寫成 \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\)。係數 \(\beta_t\) 描述時點 \(t\) 擬合出的關係；它不會自動成為股數、美元中立部位或穩定的經濟定律。

這種應用使用線性狀態空間模型的一般預測與更新遞迴。Kalman提出遞迴濾波架構，後續計量經濟學研究則將它應用於隨時間變動的迴歸係數。隨機價差的配對交易是其中一種應用，但交易假設必須與濾波演算法分開評估。

定義狀態向量與觀測列向量：

\[ \theta_t= \begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

觀測方程為 \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\)。這表示觀測到的對數價格由潛在截距、避險係數與觀測雜訊共同描述。常見的起點是假設兩個係數都遵循隨機漫步：

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

其中 \(Q\) 是係數變動的共變異數，\(R\) 是觀測雜訊變異數。令 \(Q=0\) 時，此模型中的係數固定；正值 \(Q\) 則允許係數漂移。也可以採用其他狀態轉移，但每種設定都對關係如何變動提出不同假設。

這項簡化設定假設過程擾動和觀測擾動的平均數為零、沒有序列相關，且彼此獨立。這些是模型假設，價格觀測不會自動符合它們。

在 \(t-1\) 結束時，濾波器已有估計值 \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) 與共變異數 \(P_{t-1|t-1}\)。隨機漫步狀態方程的預測為：

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

估計值延續到下一期，不確定性則按允許的係數變動共變異數增加。\(P\) 描述指定模型下潛在迴歸狀態的不確定性，不是配對交易損失的預測，也不是完整的投資組合風險衡量。

一步擬合觀測值為 \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\)。使用先驗狀態很重要，因為它是在尚未看到新 \(y_t\) 時形成的。如果先用同一個觀測值更新係數再計算殘差，更新過程已將殘差拉向零。

由於 \(H_t\) 包含 \(x_t\)，目前解釋變數的價格會同時影響 \(S_t\) 和增益。斜率不確定性較高時，不同 \(x_t\) 的觀測可能對 \(\beta_t\) 提供不同資訊，不過截距與斜率的共變異數也有影響。將 \(x_t\) 中心化或重新縮放會改變截距與係數的單位，因此 \(Q\) 中相應的元素和初始 \(P\) 也必須轉換或重新估計，不能直接照搬。

新觀測到來時，一步預測誤差，也就是創新，為：

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

創新變異數 \(S_t\) 合併了預測狀態的不確定性和觀測雜訊。卡爾曼增益與狀態更新為：

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

增益會把新出現的意外分配到估計關係的變動，或將它視為雜訊。增益越大，估計會越多根據這筆觀測調整；這不代表關係更可靠。

假設一個虛構濾波器預測 \(\hat\alpha=2.0\)、\(\hat\beta=1.20\)，且 \(x_t=50\)，因此 \(\hat y=62.0\)。如果觀測到 \(y_t=62.8\)，創新為 \(0.8\)。若模型增益是 \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\)，更新後的截距為 \(2.064\)，斜率為 \(1.2048\)。這些虛構數值只用來說明計算，不是實證避險比率，也不代表偏離會反轉。

過程雜訊矩陣 \(Q\) 表示迴歸係數在觀測之間可以變動多少。\(Q\) 越大，增益通常也越大，估計會更敏感。它能較快跟上真實關係變化，但也可能追逐短暫雜訊，造成避險權重快速變動。\(Q\) 太小會讓估計較平滑，卻可能落後於真實的結構轉變。

觀測雜訊變異數 \(R\) 描述關係無法解釋的 \(y_t\) 變動。在其他條件固定時，\(R\) 越大，濾波器越不信任每筆新觀測。\(Q\) 和 \(R\) 都不是通用的調整常數。其尺度取決於模型使用價格、對數價格或標準化序列，以及所選的取樣間隔。

分析者可以用概似估計雜訊參數，也可以依據訓練期間預先指定；但若針對最終交易期間調整，就會洩漏結果資訊。初始狀態 \(\hat\theta_{0|0}\) 與其共變異數 \(P_{0|0}\) 也很重要：初始化的不確定性偏大，可能造成初期快速調整。請報告初始化、參數估計樣本，以及對合理替代設定的敏感度。

濾波估計 \(\hat\theta_{t|t}\) 使用截至 \(t\) 的觀測。平滑估計在 \(t\) 時可能使用之後才到達的觀測。平滑有助於描述歷史潛在狀態，但這些未來資訊並非當時交易者可以取得。

估計 \(Q\)、\(R\)、配對選擇和訊號門檻時也有相同的時間問題。如果使用完整樣本一次擬合，即使係數遞迴本身只向前進行，早期估計仍會受益於後續觀測。模擬即時交易時，只用形成期間估計超參數，並固定它們或按事先說明的逐步前推時程更新；每次部位決策只能使用下單前可取得的資訊。

觀測時間不等於成交時間。如果計算 \(v_t\) 需要 \(t\) 時的收盤價，除非執行流程確實可行，否則回測不能假設同一收盤價成交。應使用下一個可執行報價或合理的執行模型，並計入價差、市場衝擊、手續費、借券和融資成本。

在配對研究中，更新前的創新 \(v_t\) 是相對於先驗擬合關係的意外。除以 \(\sqrt{S_t}\) 會得到模型下的標準化創新，有助於比較不同期間、不同估計不確定性下的意外幅度，但它沒有說明應買進或賣出多少資產，也不表示較大的偏離會反轉。

更新後的殘差 \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) 是不同的量，因為它使用目前觀測來修正係數。將這個殘差與更新前的門檻混用會改變訊號含義。請明確定義價差、時點和門檻，並說明係數是先驗、濾波還是平滑估計。

即使 \(\beta_t\) 是從對數價格估計而來，轉換成委託仍需要獨立的部位規則。對數價格權重不會直接指定股數或合約數。價格、合約乘數、幣別和帳戶限制共同決定美元曝險；截距不是可交易資產。係數更新間的再平衡成本和曝險漂移也很重要。

緩慢漂移的係數可以表示漸進變化，但也可能吸收已經失效的關係。狀態較有彈性的模型即使沒有穩定長期均衡，也可能讓擬合殘差看起來很小。濾波器不會檢驗共整合，也不保證殘差平穩。

配對選擇也很重要。從許多資產中篩選並保留樣本內殘差最平滑的一對，相當於用同一批資料選擇配對，再用它聲稱關係穩定。公司行動、過時價格、不同步收盤、放空限制、流動性變化和市場狀態轉換，都可能改變估計狀態或讓理論避險難以執行。

除了擬合線，也要檢查殘差行為、狀態不確定性、周轉率和係數路徑。使用依時間排序的留出期間，並和固定比率基準比較。更具適應性的估計只有在扣除實際成本後，仍足以補償額外周轉和估計風險，才值得採用；圖形看起來平滑本身不是績效證據。

說明模型使用哪種價格或報酬序列、如何轉換、觀測頻率、樣本日期，以及迴歸兩側分別是哪項資產。提供觀測方程、狀態方程、轉移矩陣、\(Q\)、\(R\)、初始化、估計方法，並註明報告的狀態是濾波結果還是平滑結果。

報告交易結果時，定義用於訊號的創新或價差、標準化方式、決策時間戳、下單延遲、部位大小、再平衡規則和所有執行成本。說明配對篩選、訓練與測試期間、雜訊參數如何重新調整，以及結構轉變或觀測缺漏後策略如何處理。固定係數與動態係數應使用相同的時間序列切分比較。

Kalman的線性濾波論文發展了遞迴架構。Hatanaka研究部分係數隨時間變動的迴歸。Elliott、van der Hoek和Malcolm提出配對交易的隨機模型。相關主題可參閱[卡爾曼濾波的預測與更新](/zh-TW/learn/kalman-filter-prediction-update-finance-explained)、[配對交易中的共整合與相關性](/zh-TW/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)、[Johansen秩檢定](/zh-TW/learn/johansen-cointegration-rank-trace-max-eigenvalue-explained)和[變異數比檢定](/zh-TW/learn/variance-ratio-test-random-walk-horizon-scaling-explained)指南。