檢定時間序列自相關的 Ljung–Box 檢定

樣本自相關圖可能顯示多個落後期的相依，但逐一閱讀許多長條會造成多重檢定問題。Ljung–Box 檢定將前 \(h\) 個樣本自相關合併成一個綜合統計量。其虛無假設是落後期1至 \(h\) 的母體自相關全為零；對立假設是至少一個不為零。

Box 和 Pierce 發展出一項整體適合度檢定，評估已擬合的時間序列模型。Ljung 和 Box 修改該統計量，以改善有限樣本下的近似。「Portmanteau」表示一個統計量概括多個落後期的相關；並非代表已檢定所有種類的時間序列相依。

套用於報酬序列時，問題可能是過去的有符號報酬是否留下線性序列相依。套用於已擬合的 ARMA 模型時，通常是詢問模型使用指定落後結構後，殘差是否仍有自相關。兩者相關但不同，因此解讀結果前要指出檢定的序列。

令 \(\hat\rho_k\) 為落後期 \(k\) 的樣本自相關，\(n\) 為計算它所使用的觀測數，\(h\) 為檢定的最大落後期。Box–Pierce 統計量為

\[ Q_{BP}=n\sum_{k=1}^{h}\hat\rho_k^2. \]

Ljung–Box 調整會按各落後期可用的樣本數加權：

\[ Q_{LB}=n(n+2)\sum_{k=1}^{h}\frac{\hat\rho_k^2}{n-k}. \]

由於相關係數會平方，正向和負向自相關都會提高統計量。這項調整會對可用配對較少的落後期給予較大權重，即使估計相關大小相同。大樣本時兩個統計量常趨近；有限樣本下常使用 Ljung–Box，因為原始研究發現其小樣本近似較佳。

在白噪音虛無假設及檢定的正則條件下，將 \(Q_{LB}\) 與卡方分布比較。沒有擬合動態參數的原始序列，參考自由度通常為 \(h\)。估計過 ARMA(\(p,q\)) 模型的殘差，常見調整是 \(h-p-q\)，且結果必須為正。這項修正反映擬合殘差動態時使用的參數，不是任何迴歸都要扣除全部係數的通則。整合、季節、受限或其他特殊模型可能需要不同慣例。參考自由度須符合實際殘差檢定及軟體定義。例如只檢定到 \(h=4\) 的 ARMA(2,2) 殘差，依常見調整後自由度為零，無法進行一般卡方比較。請預先選擇較長的落後期範圍，或改用適合該模型的診斷，不要勉強套用零自由度的參考分布。也要報告選擇落後期範圍的理由。

假設擬合模型留下 \(n=250\) 個殘差，事先設定的五期檢查得到自相關 \(0.10, 0.05, -0.08, 0.02, -0.04\)。Box–Pierce 先將數值平方後相加：

\[ 0.10^2+0.05^2+(-0.08)^2+0.02^2+(-0.04)^2=0.0209. \]

接著 \(Q_{BP}=250(0.0209)=5.225\)。套用 Ljung–Box 權重後：

\[ Q_{LB}=250(252)\left(\frac{0.0100}{249}+\frac{0.0025}{248}+\frac{0.0064}{247}+\frac{0.0004}{246}+\frac{0.0016}{245}\right)\approx 5.31. \]

這還不是 p 值。如果這些殘差來自 ARMA(1,1) 擬合，常見參考自由度是 \(h-p-q=5-1-1=3\)；原始序列在自身虛無假設下則可能使用5。自由度選擇會改變右尾機率。這些數字都是用來示範計算的假設值，並非市場觀測或模型結果。

統計量較小表示在所選參考分布下，觀察到的平方自相關不算特別大，但不能證明相關恰好為零。統計量較大表示在所選水準下，這些數值難以與虛無假設相容；應檢查哪些落後期和模型特徵造成結果，不要把單一數值當作診斷。

落後期上限 \(h\) 決定檢定的問題。只測少數短落後期，可能漏掉較慢的相依或日資料的每週型態。增加許多落後期會納入較弱且雜訊較大的估計，降低對特定短期型態的檢定力，也會讓結果容易受少數長期自相關影響。較大的 \(h\) 經 ARMA 自由度調整後也會留下較少自由度。

依據取樣頻率、已知日曆結構、模型目的，以及殘差不應再包含的相依來選擇落後期。日頻市場資料的交易時段落後期不一定等於日曆日落後期。盤中資料可能有時段和隔夜效應。季節模型可能需要季節落後期或專門的季節診斷；通用的一個截點可能隱藏該結構。

若嘗試多個 \(h\)、轉換方式、資產或模型階數，最後只報告最小的 p 值，呈現的顯著性就沒有反映搜尋。解讀診斷前先說明落後期範圍和決策規則，或在推論計畫中考量更廣泛的搜尋。

自相關圖常顯示 \(\pm1.96/\sqrt{n}\) 之類的單一落後期近似界線。在簡單白噪音模型下，這些界線可協助標出個別樣本相關，但不是涵蓋所有落後期的同時95%界線。逐一查看許多長條，至少一個偶然越界的機率會增加。Ljung–Box 檢定對事先選定的範圍提出一個聯合問題，並使用綜合統計量的參考分布。

一個較大的自相關或多個中度相關都可能使聯合統計量增加。檢定後應查看逐期項 \(n(n+2)\hat\rho_k^2/(n-k)\) 和 ACF 圖。一根長條超出經驗界線不一定代表綜合檢定顯著；所有長條都在各自界線內，也不能保證聯合統計量不顯著。


*概念圖比較沒有明顯落後期型態的殘差，與在多個偏移下反覆對齊的殘差；並非實際市場觀測。*

套用於有符號報酬時，檢定落後期 \(h\) 內的線性自相關是否聯合為零。套用於擬合殘差時，檢查所選模型是否留下類似的線性相依。拒絕虛無假設可以促使檢查平均數規格、時間安排、市場日曆和殘差圖，但不會指出缺少哪個項目。

即使底層單期報酬互不相關，觀測值的定義仍可能造成自相關。例如，五個交易時段的滾動報酬與下一個五時段滾動報酬共享四個每日報酬。重疊會機械式連結相鄰觀測。Ljung–Box 可以正確拒絕這種構造序列的零自相關，但這不代表不重疊的每日報酬可以預測。

請說明觀測是每日報酬、多日滾動報酬，還是重疊結果模型的殘差。按照經濟問題對齊交易日曆、收盤時間戳和隔夜區間。如果需要重疊期間，請採用適用於該構造的推論方法和參考分布，不要將結果解讀為獨立交易優勢的證據。

即使有符號報酬的自相關很小，也可能有波動叢聚。將殘差平方化會改變問題：平方或絕對值標準化殘差的自相關，可能顯示報酬尺度具有相依性。McLeod 和 Li 研究了 ARMA 擬合後以平方殘差自相關診斷非線性相依的方法。這依然是診斷，不是唯一波動模型的證明。[ARCH-LM 指南](/zh-TW/learn/arch-lm-test-volatility-clustering-finance-explained)介紹更針對 ARCH 型相依的檢定，[GARCH 指南](/zh-TW/learn/volatility-clustering-garch-explained)則說明條件變異數建模。

零自相關比獨立性弱。序列在受檢落後期的相關為零，仍可能依賴非線性轉換、條件變異數、尾端或市場狀態。Ljung–Box 統計量本身也無法說明常態性、定態性、因果結構，或扣除執行成本後能否賺取報酬。

簡單的卡方近似依賴模型、殘差建構、樣本大小與參數估計方式。若先擬合 ARMA 模型，殘差自相關是估計值，而不是直接觀察到的創新之間的相關。常見的自由度調整是實用的漸近慣例，並非所有設定下的有限樣本精確保證。

小樣本、較長的落後期範圍、接近互相抵銷的 AR 與 MA 根、離群值、條件異質變異，或擬合模型族以外的序列相依，都可能降低近似的可靠度。拒絕可能反映平均數模型錯置、資料品質問題或不適用的參考分布。未拒絕則可能因檢定力低，或落後期選擇漏掉關注的相依。

複雜或非標準模型應使用參考分布符合擬合方式的診斷程序，或採用有理據且會重做估計步驟的 bootstrap 評估校準。如果關注相依或變動變異數，以獨立同分布方式重抽樣殘差並不會自動有效。說明重抽樣設計，並將模型選擇和最終評估分開。

拒絕後檢查自相關函數、適用時的偏自相關、殘差時間安排，以及各落後期對 \(Q_{LB}\) 的貢獻。考慮型態是否短暫、季節性、由遺漏的平均數項造成，或集中於平方殘差。模型變更應基於合理的規格問題，並使用未參與選擇的資料評估。

交易規則中的樣本內可預測型態，不等於可執行優勢。下一步預測必須在下單前可取得、通過依時間順序保留的樣本外檢查，並納入買賣價差、市場衝擊、佣金、融資、借券和周轉。Ljung–Box 不檢驗策略淨獲利，也不證明拒絕結果會延續至樣本外。

報告觀測定義及數量、受檢序列、轉換、落後期上限、個別自相關或圖、檢定版本、參考自由度、統計量、p 值和顯著水準。若資料是金融報酬，也要說明交易時段、缺失值、重疊期間和已擬合條件變異數的處理方式。讀者才能看出檢定做了什麼、還有哪些問題未解。

Box 和 Pierce 的1970 年論文提出整體殘差自相關統計量。Ljung 和 Box 的1978 年論文提出有限樣本修正。McLeod 和 Li 的1983 年論文研究平方殘差自相關。NIST 的 Box–Ljung 參考資料整理統計量和殘差自由度調整。相關診斷可參閱[變異數比檢定](/zh-TW/learn/variance-ratio-test-random-walk-horizon-scaling-explained)、[ARCH-LM](/zh-TW/learn/arch-lm-test-volatility-clustering-finance-explained)及[GARCH 波動叢聚](/zh-TW/learn/volatility-clustering-garch-explained)指南。