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波動率數學閱讀約 9 分鐘
變異數與波動率：平方根為何改變定價
了解變異數為何是波動率的平方、兩者如何隨時間彙總，以及VIX與變異數交換為何不能用簡單平均比較
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
變異數是報酬相對平均值的平方偏差之平均，波動率是其通常經過年化的平方根。20%波動率對應0.20²，即0.04變異數，因此兩者的平均、時間換算與交易曝險並不相同，也不可混用單位
平方改變單位與大幅變動權重
變異數使用報酬平方單位。平方消除正負號，也讓大幅變動得到更高權重。標準差再取平方根，回到原本報酬單位
市場通常把年化標準差稱為波動率。10%與30%波動率對應0.01與0.09變異數；波動率是三倍，變異數卻是九倍
變異數較容易跨時間彙總
在報酬獨立同分布的假設下，變異數隨時間相加，因此波動率隨時間平方根改變，不可把每日波動率直接乘252
自我相關、市場狀態轉變、日內季節性、跳躍與重疊視窗會削弱近似。應說明使用交易日或日曆日，以及報酬取樣間隔
平均波動率不等於平均變異數的平方根
平方根是非線性的。多個波動率的簡單平均，通常不同於平均變異數的平方根，這是詹森不等式的直接結果
10%與30%的簡單平均是20%。平均變異數的平方根為√((0.01 + 0.09) ÷ 2)，約22.36%。平均方法會改變比較與曝險
投資組合還需要共變異數
組合變異數結合每項資產的變異數與資產間共變異數。兩項高波動資產若不同步，組合波動率可以較低；壓力時相關性也可能上升
直接加權個別波動率會忽略共同變動。應先計算變異數—共變異數結構，再取平方根
選擇權顯示波動率，也可複製變異數
選擇權鏈以易讀的IV百分比顯示價格，但一組選擇權可複製變異數型支付，Cboe波動率指數數學也採用與變異數交換複製有關的權重
相同一個百分點IV變化在不同起點的經濟價值不同。30%升至31%的變異數變化大於10%升至11%
VIX彙總選擇權後才取平方根
VIX方法把合格SPX選擇權報價彙總成30日期望變異數，插值至目標期限，再以年化百分比顯示平方根
它不是畫面上各合約IV的簡單平均。偏斜與履約價權重會影響結果，所以價平IV相近的曲面也可產生不同VIX
保持單位與實現規則一致
變異數交換對實現變異數線性支付，波動率交換則對平方根支付。平方根的凸性會改變公平履約值與避險
記錄簡單或對數報酬、取樣頻率、年化、平均值、假日與缺失值處理。不可直接用變異數0.04減去波動率20%
常見問題
變異數與波動率有何差別？
變異數平均報酬的平方偏差；波動率是其平方根，通常以年化百分比顯示並回到報酬單位
波動率20%時變異數是多少？
在年化小數單位中是0.20² = 0.04。變異數使用平方單位，應清楚說明口徑
波動率為何按時間平方根換算？
若報酬增量獨立且變異數穩定，變異數隨時間相加，其平方根便按√時間成長；真實市場可違反假設
VIX是SPX隱含波動率的平均嗎？
不是。它使用指定SPX選擇權報價與履約價權重估算固定期限變異數，再轉換成年化波動率指數
資料來源與延伸閱讀
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