Johansen 共整合檢定：秩、跡檢定與最大特徵值檢定

假設 \(y_t\) 含有 \(k\) 個變數，並在明確說明的資料生成設定下將各變數視為 \(I(1)\)。共整合秩 \(r\) 是這些變數水準值的線性組合中，彼此獨立且定態的關係數量。若 \(r=0\)，表示在該規格下未找到這類組合。若 \(0<r<k\)，就有 \(r\) 個彼此獨立的長期關係；在一般 \(I(1)\) 系統條件下，還有 \(k-r\) 個共同隨機趨勢。秩為 1 表示整個系統中有一個關係，未必代表有一組明顯的資產配對。

這是系統層次的問題。兩階段 Engle–Granger 方法會估計一條經正規化的長期方程式，再檢定配適殘差。Johansen 的最大概似法則估計並檢定向量自我迴歸中共整合空間的維度，因此能表示多個彼此獨立的關係。兩種方法回答相關但不同的問題；在有限樣本，或落後期數與確定性項設定不同時，結果可能不一致。

省略確定性項後，水準 VAR 可改寫為簡化的向量誤差修正形式：

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

其中 \(p\) 是水準 VAR 的落後期數。\(\beta\) 的欄代表長期組合，\(\alpha\) 則包含調整負荷量，連結先前的不平衡和當期變化。當 \(\Pi\) 的秩是 \(r\)，它可以分解成兩個 \(k\times r\) 矩陣 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。決定系統中誤差修正項數量的是矩陣秩，而非只有變數數量。

如果全部 \(k\) 個序列確實是 \(I(1)\)，常見的共整合情況會有 \(r<k\)。滿秩結果表示水準值可能圍繞配適規格所容許的確定性項而定態，應重新檢查最初對整合階數的假設。秩為 0 也不代表變數之間完全沒有任何關聯；它表示所選模型未能在受檢驗的秩下找到定態水準組合。

將估計特徵值依 \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\) 排序。這些數值來自最大概似程序中的降秩問題，不是一般所說的變異解釋百分比。候選秩 \(r\) 的跡統計量為：

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

它檢定 \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\)，對比 \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\)，並累積其餘特徵值的證據。最大特徵值統計量為：

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

它比較秩 \(r\) 和下一個秩 \(r+1\)。因此，跡檢定詢問關係總數是否多於 \(r\)，最大特徵值檢定則詢問資料是否支持增加下一個關係。兩者的秩虛無假設都沒有一般卡方參考分布。

假設一個三變數系統有 200 個可用觀測值，估計特徵值依序為 \(0.16\)、\(0.05\) 和 \(0.01\)。這些是假設的教學數值，不是市場估計。在 \(r=0\) 時，跡統計量加總三項，約為 \(47.14\)；最大特徵值統計量只採用第一項，約為 \(34.87\)。在 \(r=1\) 時，兩者分別約為 \(12.27\) 和 \(10.26\)；在 \(r=2\) 時，兩者都只採用最後一個特徵值，約為 \(2.01\)。

計算會產生檢定統計量，而非秩的判斷。判斷時要將統計量與符合確切確定性設定及檢定次序的臨界值或 p 值比較。例如，軟體表格中的「拒絕 \(r=0\)」是指在該表格假設及所選顯著水準下，有證據反對秩為 0；它不是某個資產價差定態的直接機率。p 值高於門檻表示無法拒絕該秩的虛無假設，並非證明它為真。

解讀秩之前，先選擇有根據的 VAR 落後期數。水準 VAR 的階數 \(p\) 對應 VECM 中 \(p-1\) 個差分落後項。落後項太少可能使殘差仍有序列相關；太多則會消耗自由度，令有限樣本推論不穩定。資訊準則可協助整理候選期數，但殘差診斷、樣本大小和經濟時間結構也很重要。說明選擇方式，並檢查合理的替代設定。

決定截距和趨勢要放在共整合關係之外、限制在關係內，還是在維持的模型中省略。這些情況意味著不同的長期行為，也會產生不同的秩檢定分布。應根據問題和資料選擇規格，而非搜尋最有利的 p 值。臨界值須符合確切的確定性設定、變數數量和實作方式。Johansen 秩統計量的分布並非常見分布。MacKinnon、Haug 和 Michelis 為特定 Johansen 類型概似比檢定計算反應曲面分布，包括容許外生 \(I(1)\) 變數的延伸版本。這些數值不能直接套用於每一種秩檢定設定。

確定性項的位置並非軟體中的裝飾性選項。在常見參數化中，限制在共整合關係內的常數項，允許該均衡組合具有非零平均值；不受限制、放在關係外的常數項，則可能允許水準值出現不同的確定性漂移。趨勢限制也會改變模型維持的長期路徑。只寫「包含常數項」並不完整，應說明常數項的位置和每項限制。

核心估計對象是共整合空間。在秩為 1 的模型中，將 \(\beta\) 向量乘以非零常數，不會改變哪個水準組合是定態，因此分析者會選擇正規化方式，例如將一個係數設為 1。秩較高時，有多組基底可張成相同空間；軟體顯示的向量不會自動成為唯一的經濟關係。解讀特定向量需要額外理論或限制，並應報告正規化方式。

調整矩陣 \(\alpha\) 說明配適系統中哪些變數會對不平衡作出反應。其符號取決於所選正規化方式，各項是系統條件下的係數，不是獨立的因果效果。較小或為零的負荷量可能引出弱外生性假設，但結論需要依照維持的模型進行相應正式限制檢定。單靠共整合秩，無法判定哪個變數「領先」、哪項關係有經濟意義，或衝擊會如何影響未來價格。

這種非唯一性是矩陣分解的性質，而非顯示方式造成的問題。對非奇異矩陣 \(H\)，\(\beta H\) 與 \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) 會產生相同的長期矩陣 \(\Pi\)。因此，即使估計出的空間可以識別，軟體顯示的個別向量也未必唯一。若要選擇某個向量作為可交易價差，需要明確的正規化方式或經濟限制；其單位和風險仍須另外分析。

通常從 0 開始，依序檢定候選秩，直到遇到第一個無法拒絕的虛無假設。選定的秩是在所選顯著水準和規格下的模型選擇。若跡檢定和最大特徵值檢定結果不同，請同時報告並調查落後期數、確定性項、檢定力不足、結構轉折和樣本敏感度，不要隱藏差異。

概似比臨界值並非常見分布，並會依系統規格而變。接近單根的行為、短樣本、離群值、制度變化、\(I(2)\) 變數或外生整合變數，可能令簡化的 \(I(1)\) 設定不適用。標準秩表不會自動處理這些情況。Johansen 的早期研究在高斯 VAR 假設下建立概似推論；之後的反應曲面計算為指定檢定設定提供參考分布，並非適用於所有資料問題。

例如，若跡檢定拒絕 \(r=0\) 和 \(r=1\)，但不拒絕 \(r=2\)，一般的順序檢定會在該規格和顯著水準下選擇秩 2。這不表示真實秩為 2 的機率等於 1。最大特徵值檢定比較相鄰秩的虛無假設，因此也應報告其判斷。不可把某一檢定的臨界值用於另一個統計量。

選出的秩也與樣本期間有關。經濟關係、市場結構或變數定義改變時，樣本前後期的估計可能不同。敏感度分析能揭示不穩定性，但搜尋許多結束時點會產生另一個多重檢定問題。請說明哪些期間是事先設定的，並將事後切分視為探索性證據。

在交易研究中，估計出的 \(\beta\) 向量可以作為一種價差定義的候選，但秩不會提供進場與出場水準、持倉大小或預期報酬。若有多個共整合向量，選擇其中一個組合可能涉及正規化、限制和資料篩選。即使估計到統計關係，權重也可能隱含放空、槓桿或流動性不足。

只用各決策日期可取得的資料估計系統，並按時間順序檢驗完整的篩選與重新估計流程。檢查關係在樣本外是否穩定，並按需要納入股利、合約轉倉、貨幣換算、融資、借券可用性、買賣價差、市場衝擊和執行時點。拒絕某個秩的虛無假設，是關於指定模型的證據，不是獲利主張。[Engle–Granger 檢定與誤差修正](/zh-TW/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained)介紹單一方程式替代法；[配對交易中的共整合與相關性](/zh-TW/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)解釋為何相關性並非同一種性質。

列出 \(k\) 個變數、轉換方式、觀測頻率、樣本日期及整合階數的證據。報告水準 VAR 落後期數、確定性項位置、有效樣本數、跡與最大特徵值統計量、相符的臨界值或 p 值、顯著水準和順序秩判斷。說明兩項檢定是否一致、接著採用哪個秩，以及敏感度檢查有否改變結果。

呈現向量時，提供正規化、限制條件及對應調整負荷量。若用於交易，也要揭露每次再平衡時可用的資料、向量選擇規則、樣本外設計、成本及失敗處理。Johansen 的1988 年共整合向量分析90041-3)建立共整合空間和秩的概似方法。1991 年高斯 VAR 研究探討秩推論及向量假設。MacKinnon、Haug 和 Michelis 提供共整合概似比檢定的反應曲面分布。相關指南說明[定態性與單根](/zh-TW/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained)。