Engle–Granger 協整檢定：殘差與誤差修正

兩個具有趨勢的序列可能因為共享隨機趨勢而看似有關聯。協整是更具體的主張：若各序列為一階整合 I(1)，某個特定加權組合可能是平穩的 I(0)。在選定模型下，這個組合就是長期均衡誤差。它會圍繞穩定分布波動，而非無限漂移。

Engle–Granger 兩階段程序以單一方程檢視這項主張。第一階段使用水準值估計長期關係；第二階段檢定估計殘差是否有單根。第一階段必須選擇哪個變數放在等式左側，因此有限樣本下檢定結果會受到方向影響。本文聚焦於經典的雙變數設定；若可能存在多個協整關係，這方法無法取代系統方法。

常見設定假設各組成變數都是 I(1)：在選定規格下，水準值非平穩，一階差分則平穩。單根檢定並不完美，短樣本或結構斷點附近尤其如此；因此，整合階數檢查應視為證據，而非機械式門檻。將 I(0) 序列與 I(1) 序列混合，不符合本文所述的經典 I(1) 協整情況。

應依據資料生成問題，決定長期方程包含截距、確定性趨勢，或兩者都不包含。例如，資產價格對數的價差模型可納入截距而不設確定性趨勢；經濟總量變數則可能需要趨勢。確定性項會同時影響估計的均衡與殘差檢定分布。看過 p 值後再挑選這些項目，會使檢定結果更難解讀。

兩個水準序列 \(y_t\) 和 \(x_t\) 的簡單第一階段方程如下：

\[ y_t = a + \beta x_t + u_t. \]

在維持的假設下，以普通最小平方法估計 \(a\) 和 \(\beta\)，並儲存 \(\hat u_t = y_t-\hat a-\hat\beta x_t\)。若兩個序列在此規格下協整，即使個別水準值非平穩，擬合組合也應是平穩的。

在金融範例中，\(y_t\) 和 \(x_t\) 可以是同一頻率觀察的兩種資產對數總報酬指數。係數 \(\hat\beta\) 定義擬合的長期組合，但不會自動成為美元中性或低風險的投資組合權重。變更左側變數、樣本、股利處理、幣別或趨勢設定，都可能改變估計值和殘差。請清楚說明方程的經濟意義。

增廣 Dickey–Fuller 型殘差迴歸可寫成：

\[ \Delta\hat u_t = \rho\hat u_{t-1} + \sum_{j=1}^{q}\phi_j\Delta\hat u_{t-j} + e_t. \]

「沒有協整」的虛無假設對應殘差有單根；對立假設是擬合殘差平穩。在上述簡化寫法中，殘差檢定統計量必須足夠負，才構成反對虛無假設的證據。落後項用來刻畫殘差的序列相依，因此落後期數與殘差診斷很重要。這與第一階段為選擇協整臨界值情況而決定截距或趨勢，是分開的選擇。增廣落後項太少可能留下序列相關；應說明落後期數的選擇方式並檢查合理替代方案，Agiakloglou 和 Newbold 也討論了落後結構。

殘差是第一階段估計而得，因此虛無假設下的分布會改變。不要拿此統計量與一般 Dickey–Fuller 臨界值或通用 ADF p 值比較。應使用符合所選確定性項、變數數量和樣本大小的 Engle–Granger 殘差檢定臨界值或 p 值。Phillips 和 Ouliaris 推導殘差檢定的漸近理論；MacKinnon 則為常見規格提供反應曲面臨界值。 因此，即使殘差檢定統計量的數值相同，只要第一階段的確定性項或解釋變數數量不同，應比較的基準臨界值也可能不同。

假設研究者使用固定的月資料樣本分析兩個對數價格指數。依照明確列出的單根規格，兩個序列看起來都是 I(1)。第一階段迴歸納入截距並產生擬合殘差。接著以符合該確定性設定和樣本的 Engle–Granger 分布評估殘差統計量，而不是查一般 ADF 表。

假設配合該設定的檢定 p 值低於研究者事先訂定的 5% 門檻。研究者便在此規格下拒絕「沒有協整」的虛無假設，並找到估計組合平穩的證據。這個結論取決於樣本、落後期選擇、確定性項及整合假設。它不表示所有資產配對都有關係、關係會持續到樣本外，或擬合殘差可提供有利可圖的進場訊號。若 p 值高於 5%，正確說法是「檢定未能拒絕沒有協整」，而非「已證明序列彼此無關」。

下圖是概念示意：共同隨機趨勢可以與有界殘差並存，偏離擬合關係的幅度之後也可能縮小。圖中沒有實際量測的序列，亦不表示調整必定以可預測的速度發生。

如果長期關係有證據支持，誤差修正模型可以結合短期變化與前一期的均衡誤差。令 \(\hat u_{t-1}=y_{t-1}-\hat a-\hat\beta x_{t-1}\)，一種例子如下：

\[ \Delta y_t = c + \lambda\hat u_{t-1} + \sum_{i=1}^{r}\phi_i\Delta y_{t-i} + \sum_{j=0}^{s}\theta_j\Delta x_{t-j} + \epsilon_t. \]

其中 \(\lambda\) 是此參數化下 \(y_t\) 的調整係數。若 \(y\) 高於擬合關係且 \(\lambda<0\)，其他條件不變時，誤差修正項會對 \(y\) 的下降變化有所貢獻。這個符號解讀採用 \(\hat u=y-\hat a-\hat\beta x\) 的定義；若反向定義殘差，係數符號也會反轉。短期係數描述其他條件下的反應。其他變數也可能調整；協整本身無法說明由哪個市場或經濟變數承擔調整。

除非模型確實具有如此簡單的動態形式，否則不要把 \(\lambda\) 機械地解讀成「價差每月按固定比例收斂」。落後變化、多個調整變數、非線性反應與結構斷點都會影響完整路徑。穩定的長期關係不是結構性因果機制；調整係數則須在指定模型與資訊集合下解讀。

Engle–Granger 單一方程設定可檢定一個指定的長期組合，其中可包含一個依變數與多個解釋變數。兩個 I(1) 變數的協整秩上限為 1；較大的系統則可能有多個協整向量。單一殘差檢定無法決定完整系統的秩。Johansen 程序在其 VAR 與確定性項假設下，專門處理秩的問題。

第一階段的正規化在有限樣本中也很重要。長期關係概念上是線性組合，但將 \(y\) 對 \(x\) 迴歸，通常不會與將 \(x\) 對 \(y\) 迴歸得到相同數值。應基於清楚的經濟理由選擇並報告正規化。若反轉方程後結論改變，應報告這項敏感度，而非只挑選有利結果。

小樣本下檢定力可能不足，落後期選擇、確定性項、離群值與結構斷點也會影響結果。長期關係若發生斷點，原先平穩的組合可能在全樣本中看起來不穩定。一次拒絕是在既定規格下的證據，不代表關係永久穩定。

在交易應用中，擬合殘差可能稱為價差，但這個名稱並未定義可執行的投資組合。由對數價格建立的價差不同於金額部位；只有價格的序列也不同於總報酬序列。迴歸係數可能隨時間漂移，即使估計殘差平穩，也不會自動給出進場門檻、持有期間、停損或部位大小。

長期關係應只用各決策時點已可取得的資料估計。若使用整段回測期間估計避險係數，再回頭模擬早期交易，訊號就洩漏了未來觀測值。應依時間順序切分建構期與評估期，納入股利、股票分割、借券可用性、融資成本、買賣價差、市場衝擊與再平衡，並訂定診斷顯示斷點時的處理方式。搜尋大量配對和時間窗口也會產生選擇偏誤，協整檢定無法校正這種偏誤。

實務問題不只是某個殘差檢定是否拒絕虛無假設。還要問經濟連結是否有持續存在的理由、能否通過透明的穩定性檢查，以及考慮不確定性和成本後，可執行規則是否仍然可行。協整能為模型提供資訊，但無法保證收斂、避險有效或取得報酬。

列出變數、轉換方式、頻率、樣本日期、整合證據與第一階段正規化。說明是否包含截距或趨勢、殘差檢定類型、落後期選擇規則、檢定統計量，以及協整專用臨界值或 p 值的來源。報告採用合理替代落後期或樣本窗口的敏感度，並註明是否分析過斷點。

若估計誤差修正模型，請定義落後失衡項和符號慣例、報告哪些變數可調整，並區分短期係數與長期關係。若為交易研究，應公開依時間順序切分的樣本、配對選擇規則、成本、融資、借券假設及失敗處理方式。這些細節能讓人區分可重現的檢定和看似顯示收斂的圖表。

Engle 與 Granger 的協整、估計與檢定原始論文說明協整與誤差修正之間的關係。Phillips 與 Ouliaris 推導殘差式協整檢定的漸近理論。MacKinnon 的臨界值研究解釋臨界值如何隨樣本大小與檢定規格改變。Agiakloglou 與 Newbold 探討增廣 Dickey–Fuller 檢定的落後結構90022-Q)。若系統可能有多個關係，請參考 Johansen 的協整向量分析90041-3)。相關指南包括[配對交易中的協整與相關關係](/zh-TW/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)、[金融中的平穩性、單根與均值回歸](/zh-TW/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained)，以及[以局部投射法估計衝擊反應](/zh-TW/learn/local-projections-impulse-responses-horizons-explained)。