ADF 與 Phillips–Perron：單位根檢定有何不同

在自我迴歸水準方程式中，單位根代表衝擊未必會從序列水準消退。將一階差分寫成對落後水準的迴歸，就能看出這個假設：若落後水準的係數為零，在指定模型下，水準過程的根便為 1。負係數代表證據朝向平穩的對立假設，但仍須仰賴維持假設與確定性項設定成立。

因此，在常見的 ADF 與 PP 實作中，虛無假設不是「序列平穩」。虛無假設是存在單位根；對立假設則是序列圍繞所選的確定性成分平穩。統計量不夠負而未能拒絕虛無假設，並不能證明序列有單位根。樣本可能只是資訊不足，無法區分單位根與自我迴歸根接近 1、持續性很高的平穩過程。

這與以平穩性為虛無假設的 KPSS 檢定不同，也不同於直接檢定共整合。平穩性與單位根指南介紹較廣泛的問題；Engle–Granger 指南說明非平穩序列的某個線性組合可能平穩的特定情況。

單位根迴歸可以不含確定性項、只含常數，或同時含常數與線性時間趨勢。這些不是裝飾性選項。常數允許單位根虛無假設下存在漂移，也允許平穩對立假設下平均值不為零；時間趨勢則讓平穩對立假設圍繞確定性趨勢波動。選擇的設定會改變模型及虛無假設下的非標準分布。

加入不必要的趨勢會增加估計參數，可能降低檢定力。漏掉真實的漂移或趨勢，則可能扭曲檢定大小與解讀。應根據資料生成問題和序列圖選擇設定、明確說明，並使用相符的臨界值。不要事後挑選最容易得到預期拒絕結果的選項。

同樣原則適用於對數價格、價差、利率或報酬。對價格水準合理的正向趨勢，對報酬可能毫無意義。檢定無法代替你決定研究對象的經濟意義。確定性成分是假設的一部分，不是估計後可隱藏的前處理細節。

增廣 Dickey–Fuller 迴歸可寫為：

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

其中 dₜ 包含所選的確定性項，虛無假設為 H₀: γ = 0。加入差分落後項，是為了讓剩餘擾動的行為足以適用檢定近似。這些項以參數方式在迴歸內描述短期動態，不是額外的單位根限制。

落後階數 p 很重要。落後期太少可能讓 εₜ 留下序列相關，削弱預期的近似；落後期太多則會耗用自由度，樣本較短時尤其會降低檢定力。Harris（1992）90022-Q) 的蒙地卡羅研究探討 ADF 落後結構、檢定大小與檢定力的實務選擇。可先說明最大落後期，再比較合理的資訊準則與殘差診斷，並揭露鄰近落後期選擇是否改變結論。選到較小落後階數，不代表殘差依賴無關緊要。

有些過程的落後期選擇本身就很困難。Ng 與 Perron 指出，當誤差的移動平均根接近 −1 時，在他們研究的設定下，傳統 AIC 或 BIC 可能選到太少的增補落後期；他們修訂的資訊準則是為採用 GLS 去趨勢的單位根程序及相關檢定所設計。這是特定動態下的提醒，不代表某一準則或較長落後期一定較好。

Phillips–Perron 檢定從 Dickey–Fuller 型迴歸開始，但沒有 ADF 的差分落後項總和：

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

接著，它使用短期變異數與長期共變異數估計值修正檢定統計量。常見的長期變異數估計形式為：

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

其中 γ̂ⱼ 是殘差自共變異數，K 是核函數權重，ℓ 是頻寬或截斷階數。確切定義會依 PP 統計量和軟體慣例而異。概念上的差異一致：ADF 在迴歸中加入差分落後項；PP 則對較短迴歸的統計量施以非參數依賴修正。

PP 不只是「使用穩健標準誤的 ADF」。PP 修正會改變單位根統計量及其漸近處理方式；一般異質變異穩健迴歸輸出，不會使一般 t 臨界值變得有效。頻寬與核函數決定修正涵蓋多少依賴性。頻寬太小可能漏掉重要相關性；太寬則可能讓長期變異數估計更嘈雜。

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在單位根虛無假設下，落後水準由隨機趨勢產生，而非平穩的迴歸變數。因此 DF 系列統計量具有非標準的極限分布。即使樣本很大，一般 t 表也不是參考分布。臨界值取決於迴歸未含常數、含常數，或同時含常數與趨勢，也取決於所用統計量和實作方式。

PP 統計量經過轉換以考量依賴性，但單位根虛無假設仍須依據適當的非標準參考分布評估。請使用與確定性項和統計量相符之可靠實作的臨界值或 p 值。不要用一種設定的 ADF 統計量對照另一種設定的 PP 臨界值，也不要把輸出的係數 t 比值當作一般 Student t 統計量來判斷是否拒絕。

漸近校準不保證每個有限樣本的表現都良好。Schwert 的蒙地卡羅研究指出，單位根程序會受到模型錯誤設定影響，各方法的有限樣本行為也不相同。解讀 p 值時，應一併考量樣本長度、資料生成特性、落後期或頻寬，以及迴歸設定。

「檢定大小」是正確的單位根虛無假設遭到拒絕的機率；「檢定力」是在指定平穩對立假設下拒絕虛無假設的機率。若實際依賴結構下檢定大小不正確，單一樣本看似明確的結果仍可能誤判。ADF 落後階數和 PP 長期變異數修正以不同近似處理相關的依賴問題，因此一種方法的結果不能自動驗證另一種方法的穩健性。

使用 ADF 時，要檢查加入落後項後殘差是否仍有序列相關，並確認稍微增加落後期是否實質改變推論。使用 PP 時，應報告核函數及頻寬規則，並檢視合理的替代設定。這些是敏感度檢查，不是搜尋許多設定後只保留最有利 p 值的許可。Ng–Perron 的結果也提醒，落後期選擇會與擾動過程及確定性去趨勢交互作用；機械套用單一資訊準則未必能解決所有設計問題。

兩種檢定對高度持續但平穩的對立假設都可能檢定力偏低。未能拒絕並不是必須差分的肯定證據。若樣本短、過程接近單位根，或結論對模型選擇很重要，應考慮假設明確的補充證據及其他程序，不要把 ADF 和 PP 當成彼此獨立的投票。

水準位移、趨勢變化、政策制度轉換、匯率釘住制度改變或市場結構轉型，都可能讓過程看起來高度持續；更恰當的描述或許是圍繞變動確定性路徑的多個平穩區段。Perron 對重大歷史斷點的分析說明，單位根結論可能取決於是否允許斷點。標準 ADF 和 PP 設定不會自動偵測所有斷點。

請繪製序列圖、記錄已知制度變動，並確認可容許斷點的檢定或分段模型是否回答實際問題。看過同一份樣本後再搜尋斷點，也可能影響推論；應採用臨界值適用於搜尋程序的方法，或將分析視為探索性。Bai–Perron 指南說明迴歸斷點估計；那是獨立程序，並非 ADF 或 PP 的直接替代修正。

變換也很重要。價格水準、對數價格、價差和報酬代表經濟意義不同的變數。對類似有單位根的水準取差分，可能得到較穩定的序列；對本來平穩的水準取差分，則可能失去資訊並造成不必要的雜訊。配對研究中的共整合分析，有助於區分各自的隨機趨勢與可能平穩的價差。以上診斷本身都無法證明策略有獲利能力。

假設虛構的水準序列遵循：

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

其中 μ 是固定漂移，εₜ 是具有序列依賴的創新項。兩邊減去 yₜ₋₁，可得 Δyₜ = μ + εₜ，因此相應差分迴歸中 yₜ₋₁ 的係數 γ 為零。這就是單位根虛無假設的表示。這段代數推導不會產生 p 值：推論參考分布仍是非標準的，並取決於如何處理確定性項和依賴性。

若研究者採用 ADF，差分落後項會嘗試在迴歸中表示短期依賴。若採用 PP，基礎方程較短，統計量則使用估計的長期共變異數修正。若資料有破裂的確定性趨勢，即使軟體回報看似精確的統計量，兩種標準實作仍可能設定錯誤。

比較包含三個不同層次：實質虛無假設、迴歸／確定性項設定，以及殘差依賴修正。固定前兩者後，ADF 和 PP 可作為有用的替代診斷；三者都更動，直到某個檢定拒絕則不可取。結果不一致應促使你檢查假設及調校，而非把勝出的檢定當成自動決定模型的裁判。

請報告變數及變換、樣本日期、觀測頻率、確定性項、ADF 落後期規則與選定階數，或 PP 統計量、核函數及頻寬。說明虛無與對立假設、統計量、相符的臨界值或 p 值，以及殘差序列相關或斷點檢查。若結果對合理設定敏感，應如實說明，不要只呈現支持偏好敘事的設定。

實用流程是先界定目標與經濟模型，選擇確定性項，執行設定合理的 ADF 或 PP，診斷序列依賴與可能斷點，再將結論與補充證據比較。變異比檢定指南檢視隨機漫步行為的另一個含意；它的虛無假設不同，也無法取代單位根檢定。

ADF 和 PP 都不會因為 p 值跨過門檻就命令差分。差分是針對序列與研究問題的建模選擇：預測變動、估計長期關係、檢定交易價差或保留水準，都可能需要不同做法。檢定可提供資訊，但最終變換也應符合資料生成脈絡、穩定性、預測目標及任何共整合結構。