Kalman Filter：預測、創新與更新

每個日期攜帶的是狀態估計和誤差協方差，而不只是平滑線上的一點。

線性令狀態與觀察成為過去狀態和擾動的仿射函數，Gaussian 假設保持條件分佈為 Gaussian。

在該模型下，條件平均最小化均方誤差。模型之外遞迴仍可能有用，但失去相同最優性聲明。

轉移矩陣把先前狀態向前投射，控制變量或已知輸入可改變預測平均。

協方差亦被傳播，並因過程雜訊而擴大。容許快速變動的狀態在兩次觀察間更不確定。

這個先驗預測不用目前觀察。把它與更新分開，可審核實時資訊紀律。

Innovation 是觀察值減去觀察方程的預測值，即先驗狀態未預料的部分。

其方差結合投射狀態不確定性與量度雜訊。若方差很大，較大原始意外也可能普通。

規格正確時，標準化 innovation 應近似不可預測雜訊。序列模式會揭示模型遺漏的資訊。

Gain 把 innovation 映射成狀態修正。當狀態預測相對量度更不確定時，它會增大。

觀察雜訊大時 gain 較小，濾波器移動較少；量度精確時，更多意外成為狀態修訂。

它通常不是固定平滑參數，而會隨協方差、遺漏資料與時變系統矩陣演化。

觀察資料後，已解決部分不確定性，狀態協方差收縮；下一次預測又因過程雜訊擴張。

捨入誤差可產生不對稱或非半正定矩陣，因此數值穩定的協方差公式很重要。

只用濾波協方差的信賴帶可能遺漏參數不確定性。估計轉移與雜訊參數另增一層誤差。

初始狀態可設為已知、平穩、待估或 diffuse。早期濾波值可能強烈依賴選擇。

預測誤差與方差構成 Gaussian 概似以估計未知參數。不能只為視覺平滑而調整雜訊水平。

比較初始化、留出預測和邊界估計。接近零的方差或接近一的持續性可能表示弱識別。

Extended Filter 局部線性化非線性函數，Unscented Filter 傳播選定點，Particle Filter 模擬狀態分佈。

它們不會自動更準確。強非線性、厚尾或多峰狀態需要方法特定診斷。

與其用一個線性 Gaussian 遞迴貫穿所有市場，穩健觀察模型或狀態轉換可能更合適。

它可從含雜訊報價估計有效價格、時變 beta、收益率曲線因子或變動對沖比率。

估計以模型與參數為條件。使用「預測」一詞並不表示能知道明日回報。

用每個日期真正可用的資訊評估一步 innovation、滾動預測、狀態修訂、換手與交易成本。