İki Ölçekli Gerçekleşen Volatilite: Mikro Yapı Gürültüsüyle Varyans Tahmini

Gerçekleşen varyans çoğunlukla getirilerin kareleri toplanarak hesaplanır. Gözlenen log fiyatlar etkin fiyatı kusursuz biçimde izleseydi, daha fazla gözlem onun yolunu daha iyi yakalayabilirdi. Gerçek işlem fiyatları ve kotasyonlar ise alış-satış sıçramasını, fiyat adımlarını, gecikmeyi ve başka piyasa mikro yapı etkilerini de yansıtır. Çok kısa aralıklarda bunlar, iki gözlem arasındaki etkin fiyat hareketine kıyasla büyük olabilir.

Bu nedenle gözlemler sıklaştıkça basit gerçekleşen varyans, seans boyunca temel entegre varyans değişmese bile yükselebilir. Bu artış varlığın ekonomik oynaklığının mutlaka yükseldiğini göstermez; gürültülü fiyat farklarının karelerinin defalarca toplanmasından kaynaklanabilir. Genel gerçekleşen volatilite hesaplama rehberi sıradan kareli getiri toplamını açıklar; bu yazı yüksek frekanstaki yanlılığın belirli bir kaynağına yönelik düzeltmeye odaklanır.

Zhang, Mykland ve Aït-Sahalia'nın iki zaman ölçeğine ilişkin ilk çalışmasında tanıttığı TSRV, iki çözünürlüğü farklı amaçlarla kullanır. Seyrek ızgara, gürültüden etkilenen artımların sayısını azaltır. Kaydırılmış seyrek ızgaraların ortalaması, tek bir keyfî başlangıç noktasına bağlı kalmayı önler. Tam sık ızgara ise çıkarılabilecek ölçekli bir gürültü tahmini sağlar. Mantık varsayımlara ve sonlu örneklem tercihlerine bağlı olduğundan sonuç, gerçek fiyat yolunun arındırılmış gözlemi değil, belirsizlik içeren bir tahmindir.

\(X_t\), pencere boyunca yerel varyans hızı \(\sigma_t^2\) olan sürekli bir süreç şeklinde modellenen gizli etkin log fiyat olsun. Hedef, bu fiyatın entegre varyansıdır: \[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

\(t_i\) gözlem zamanında kaydedilen log fiyatı şöyle yazalım: \[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \] burada \(\epsilon_{t_i}\) gözlem gürültüsüdür. Klasik türetim; gürültünün ortalamasının sıfır, gözlem zamanları arasında bağımsız, etkin fiyat sürecinden bağımsız ve varyansının sabit \(\omega^2\) olduğunu varsayan temel modeli kullanır. Ayrıca düzenli bir örnekleme ızgarası ve pencere boyunca uygun bir sürekli etkin fiyat modeli varsayılır. Bunlar model koşullarıdır; borsa verilerinin her durumda böyle olduğu anlamına gelmez.

Gözlenen artım \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\) olur. Gürültü komşu getirilerde zıt işaretlerle yer alır: bir gözlemdeki pozitif fiyat hatası bir getiriyi yükseltir, sonrakini düşürür. Gürültülü fiyatlardan hesaplanan getirilerin bağımsız ölçüm hataları gibi davranmamasının nedeni budur. Gürültüsüz durumda kareli artım toplamlarının yol varyasyonunu neden hedeflediğini kuadratik varyasyon rehberi açıklar.

Buradaki hedef, belirli bir zaman penceresindeki varyanstır. Alış-satış spread tahmini, öngörü veya gerçekleşen işlem maliyeti değildir. Farklı bir işlem fiyatı sorusu için Roll alış-satış spread tahminine bakın. Hedefi açık tutmak önemlidir; çünkü çeşitli piyasa mikro yapı yöntemleri yüksek frekanslı fiyatları kullanırken farklı nicelikleri tahmin eder.

Sık ızgaradaki \(n\) getiri için \[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2 \] tanımını kullanalım. Temel modelde gözlenen getirinin gürültü bileşeni \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\) ve bunun varyansı \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\) olur. Bağımsızlık varsayımları altında beklentisi sıfır olan çapraz terimleri ihmal edersek, \[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

İlk terim hedeflenen entegre varyanstır. İkinci terim her sık getiri için bir gürültü katkısı biriktirir. Örnekleme aralığı kısalıp \(n\) arttıkça gürültü terimi baskın hâle gelebilir. Ölçüm gürültüsünü yok sayarken “olabildiğince sık örnekle” demek bu yüzden güvenli bir kural değildir. Aït-Sahalia, Mykland ve Zhang, bu sonlu örneklemdeki en iyi örnekleme sıklığını mikro yapı gürültüsü altında örnekleme çalışmasında inceler.

Bu yaklaşık ifade, bir model altındaki beklentiye ilişkindir. Belirli bir örneklemde etkin fiyat ve gürültü artımları arasında rastgele çapraz terimler bulunur; gerçekleşen değer beklentiye eşit olmak zorunda değildir. Gürültü varyansı gün içinde değişiyor, hatalar seri bağımlı oluyor veya örnekleme düzensiz yapılıyorsa basit \(2n\omega^2\) ifadesi yanlılığı göstermeyebilir. Bu koşullarda tanıdık bir formül, doğru görünen ama yanlış düzeltme hedefleyen bir sayı üretebilir.

\(K>1\) tam sayı aralığını seçin. Her \(k=0,\ldots,K-1\) kaydırması için, gözlenen her \(K\)'ıncı fiyatı alarak seyrek ızgara gerçekleşen varyansını hesaplayın: \[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \] Her seyrek artım daha uzun bir aralığı kapsar; buna karşın ızgara genel olarak aynı gözlem penceresini kapsar. Kullanılabilir kaydırmaların ortalamasını alın: \[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Kaydırmalar önemlidir. Tek bir seyrek ızgara büyük bir hareketin hemen öncesinde ya da sonrasında başlayabilir ve sonucu başlangıç tercihine duyarlı kılabilir. Kaydırılmış ızgaraların ortalaması bu başlangıç noktası bağımlılığını azaltır. Ancak \(K\) bağımsız veri kümesi oluşturmaz; ızgaralar aynı gözlemleri yeniden kullanır ve istatistiksel olarak bağımlıdır.

Bağımsız ve eş varyanslı gözlem gürültüsünde, seyrek bir getirinin iki ucundaki gürültü değerleri farklı gözlemler olduğundan aralarındaki farkın varyansı yine \(2\omega^2\)'dir. Sık ızgaraya göre daha az seyrek getiri vardır; dolayısıyla seyrek tahminlerin ortalaması daha az toplam gürültü yanlılığı taşır. Seyrek artımlar pencerenin yalnızca bir bölümünü değil tamamını kapsadığı için sinyal katkısı yaklaşık olarak aynı entegre varyansta kalır.

Bu rehberdeki görsel kavramsaldır: pürüzlü gözlenen yolu, daha düzgün gizli yol çevresindeki daha geniş aralıklı ve kaydırılmış görünümlerle karşılaştırır. Piyasa verisi veya ölçülmüş tahmin sonucu göstermez. İki ızgara yöntemi yerine yüksek ve düşük fiyatları kullanan tahminler için OHLC aralık tabanlı volatilite tahminleri rehberine bakın.

<!-- learn:illustration -->

\(\bar n\), kaydırma ızgaralarındaki ortalama seyrek getiri sayısı olsun ve \(\lambda=\bar n/n\) olarak tanımlansın. Temel modelde ortalama seyrek ızgara gürültü yanlılığı yaklaşık \(2\bar n\omega^2\)'dir. Sık ızgara tahmininin gürültü yanlılığı yaklaşık \(2n\omega^2\) olduğundan, \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) yaklaşık \(2\bar n\omega^2\) katkı verir. Bu terimi çıkarmak öncü gürültü bileşenini iptal eder: \[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Bu ham fark, her iki gerçekleşen varyans terimi de sinyal içerdiği için entegre varyans sinyalinin \(\lambda\) oranındaki kısmını da çıkarır. Bu nedenle yaygın bir sonlu örneklem normalizasyonu şöyledir: \[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \] Payda, basit beklenti hesabındaki sinyal katsayısını geri getirir. Uygulamalar uç noktaları ve gösterimi farklı ele alabilir; \(n\)'nin tanımını, kaydırma kümesini ve \(\bar n\)'nin nasıl hesaplandığını belgelendirin. Bu düzeltme örnekleme belirsizliğini ortadan kaldırmaz veya yanlış gürültü modelini onarmaz. Klasik asimptotik düzende örneklem büyüdükçe \(\lambda\) küçülür; kısa pencerelerde sonlu örneklem katsayısı yine de önemli olabilir.

\(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\) ise tahmin negatif olabilir. Bu, fiziksel varyansın negatif olduğu anlamına gelmez; sonlu örneklemde gürültü çıkarımı seyrek tahmini aşmıştır. Sonraki bir ekranda sıfıra çevirmek kullanışlı olabilir, ancak bu tahminciyi değiştirir ve yeni bir kırpma kuralı ekler. Analizde ham tahmini saklayıp raporlayın, seçilen ölçek ve varsayımları inceleyin, sonradan kırpma yapılıyorsa bunu açıkça belirtin.

Yedi varsayımsal log fiyat noktası, baz puan cinsinden altı sık ızgara getirisi üretsin: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. Bu küçük dizi yalnızca aritmetik örnektir, borsa verisi değildir. Sık ızgara gerçekleşen varyansı \[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2 \] olur.

\(K=2\) seçilsin. İlk kaydırma komşu sık getirileri gruplayarak \([2,-2,2]\) bp seyrek getirilerini üretir; kareler toplamı \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\)'dir. Kaydırılmış ikinci ızgara \([0,0]\) bp üretir ve kareler toplamı 0'dır. İki ızgara tahmininin ortalaması \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\) olur.

Altı sık getiri ve bu iki kaydırma ile ortalama seyrek getiri sayısı \(\bar n=(3+2)/2=2.5\)'tir. Dolayısıyla \(\lambda=2.5/6=5/12\) ve \[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Varyans tahmini, ondalık getiri kareleri biriminde \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\)'dir. Kare kökü, bu varsayımsal pencere için yaklaşık \(2.45\) bp'dir; yıllıklandırılmamıştır. Bu küçük, yapay dizide tahminin sık ızgara RV'sine eşit çıkması TSRV'nin genel bir özelliği değildir. Başka fiyat yollarında tahmin daha yüksek, daha düşük veya negatif olabilir.

Hesap, modelin sınırını da gösterir: gizli yol ile gürültü ayrı gözlenmediği için bu örnek tek başına \(6\,\mathrm{bp}^2\)'nin gerçek entegre varyansa eşit olduğunu kanıtlayamaz. Toplamları, ölçeği ve birimleri denetleyebilirsiniz; gizli ayrıştırmayı örnekten çıkaramazsınız. Yüksek frekanslı gürültüye yönelik başka bir yöntem ailesi olan realized-kernel tahminleri ampirik literatürde ele alınır; bunların da kendine özgü varsayımları ve uygulama tercihleri vardır.

\(K\), seyrek getiri sayısı ile ortalama alma ve gürültü düzeltmesi arasındaki dengeyi belirler. Çok küçük \(K\), çok sayıda kısa artımı bırakıp tahmini gürültüye duyarlı kılabilir. Çok büyük \(K\), az sayıda kaba getiri bırakır; böylece seyrek tahmin kararsızlaşır ve kısa pencere etkilerine daha açık olur. Kaydırmaları ortalamak ızgara hizalamasına yardımcı olur, ancak kısa ya da düşük kaliteli örneklemde olmayan bilgiyi yaratmaz.

İlk asimptotik analizde tercih edilen seyrek aralık örneklem büyüklüğüyle artar; o makalenin gösterimi ve temel koşulları altında \(n^{2/3}\) mertebesindedir. Bu teorik ölçeklenme sonucudur; belirli sayıda saniye veya gözlem kullanmaya yönelik evrensel talimat değildir. Optimum, gürültü-sinyal oranına ve varsayımlara bağlıdır. Daha sonraki çalışmalar ve uygulamalar farklı ayarlama kuralları ya da uç nokta düzenleri kullanabilir. Başka bir analistin yeniden üretebilmesi için örnekleme aralığını, \(K\)'yı, kaydırmaları, seans sınırlarını ve sonlu örneklem normalizasyonunu raporlayın.

Savunulabilir bir analiz, çekici görünen sonucu veren değeri sonradan seçmek yerine, önceden belirlenmiş makul \(K\) değerleri arasında duyarlılığı gösterebilir. Tahminler belirgin biçimde değişiyorsa bu kararsızlık da bulgunun parçasıdır. Ölçek veri tasarımına ve belgelenmiş bir kurala göre seçilmeli; istenen volatilite tahmini bulunduktan sonra ayarlanmamalıdır. Daha kaba gerçekleşen varyans veya gürültüye dayanıklı alternatifle karşılaştırma yapılabilir, ancak ölçüler ayrı adlandırılmalıdır.

Klasik düzeltme belirli bir gürültü yapısı için türetilmiştir. Alış-satış sıçraması ve diğer mikro yapı etkileri seri bağımlı olabilir, seans boyunca değişebilir, likiditeye bağlı olabilir veya etkin fiyat artımlarıyla korelasyon gösterebilir. Hansen ve Lunde, gerçekleşen varyans çalışmalarında, gerçekleşen varyans ile mikro yapı gürültüsünün zaman bağımlılığını ve etkin fiyat değişimleriyle korelasyonu da içeren biçimlerde etkileşebildiğini gösterir. Aït-Sahalia, Mykland ve Zhang daha sonra bağımlı mikro yapı gürültüsü için iki ölçekli yöntemler geliştirir. Bu genişletme, değiştirilmiş tahminciyi özgün bağımsız-gürültü formülünden ayırmayı gerektirir; özgün formülün her bağımlılık biçimini ele aldığını varsaymayı değil.

Diğer uygulama sorunları arasında düzensiz gözlem zamanları, varlıkların eşzamansız gözlemlenmesi, güncelliğini yitirmiş kotasyonlar, fiyat ayrıklığı, sıçramalar, hatalı işlemler, açılış-kapanış etkileri ve eksik gözlemler yer alır. Bunlar hem sık ızgara düzeltmesini hem seyrek ızgaralara giren getirileri etkileyebilir. Sıçramaların hedef kuadratik varyansa dahil edilmesi veya ayrı ele alınması araştırma sorusuna bağlıdır; TSRV bu modelleme tercihini kendi başına yapmaz. Gözlemleri filtrelemek de ızgarayı değiştirir ve belgelenmelidir.

Gürültüye dayanıklılık, tüm veri sorunlarına karşı bağışıklık anlamına gelmez. Tahmini gizli varyans ölçüsü olarak yorumlamadan önce girdinin işlem fiyatı, kotasyon ya da orta fiyat olup olmadığını; getiri dönüşümünü ve zaman esasını; gözlemlerin eşit aralıklı olup olmadığını belirtin. Temizleme ve seans kurallarını kaydedin, \(K\)'ya duyarlılığı inceleyin. Gürültü süreci temel varsayımları bozuyorsa o durum için tasarlanmış bir yöntem kullanıp varsayımlarını açıklayın. Negatif tahmini negatif volatilite olarak adlandırmayın veya sessizce pozitif bir sayıya dönüştürmeyin.

Şeffaf bir rapor hedef pencereyi, girdi fiyat serisini, örnekleme aralığını, sık getiri sayısını, seyrek adım \(K\)'yı, kaydırma kümesini, uç nokta kuralını, gürültü varsayımlarını, normalizasyonu, birimleri ve varsa kırpmayı belirtir. Ham farkla normalleştirilmiş tahmini ve önceden seçilmiş ölçeklerde duyarlılığı birlikte gösterebilirsiniz. Bu bilgiler hesabın denetlenmesini sağlar ve varyans tahmininin kotasyon, gelecek tahmini ya da kârlı bir işlem kuralının kanıtı sanılmasını önler.

Entegre varyans gözlenen pencere için ölçülür. Yıllıklandırma için zaman kuralı açıklanmalı; gün içi örüntüler, gece aralıkları veya işlem kesintileri gizlenmemelidir. Kare kökü almak pencere başına volatilite birimini verir, ancak kendi başına tahmin ufku oluşturmaz. Geçmiş gerçekleşen ölçü bir model girdisi olabilir; öngörü performansı ise tahminci ayarlarını seçmekte kullanılmamış veride ayrıca değerlendirilmelidir.

TSRV'nin temel katkısı yöntemseldir: açık bir eklemeli gürültü modeli altında iki örnekleme ölçeği, basit yüksek frekanslı gerçekleşen varyansı tutarsız yapan öncü gürültü yanlılığını azaltır. Her fiyat hareketinin kaynağını belirlemez, model riskini ortadan kaldırmaz ve sonraki volatiliteyi söylemez. Bu sınırlar tahminle birlikte verilmelidir.