Finansta Kuadratik Varyasyon Açıklaması
Karesi alınmış yol artışlarının ince ölçeklerde neden hayatta kaldığını, Itô düzeltmesini nasıl ürettiğini ve difüzyon volatilitesini gerçekleşen varyansla nasıl ilişkilendirdiğini öğrenin
Doğrudan yanıt
Kuadratik varyasyon, daha ince zaman parçalamalarındaki yol artışlarının karelerinin limitidir. Sürekli sonlu varyasyonlu yollarda yok olur, standart Brown hareketi için geçen zamana eşittir ve Itô kalkülüsündeki düzeltmeyi üretir
Zamanı inceltmeden önce artışların karesini alın
[0,t] aralığının π parçalanması için Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² oluşturun ve ızgarayı sıfıra doğru inceltin
Bu toplamlar ilgili olasılıksal anlamda yakınsadığında limit [X]_t kuadratik varyasyondur
Bu, X_t'nin tekrarlanan sonuçlar arasındaki istatistiksel varyansıyla aynı değil, yol bazında birikim kavramıdır
Düzgün ve sonlu varyasyonlu yollar yok olur
Toplam varyasyonu sonlu olan sürekli bir yolun kuadratik varyasyonu sıfırdır; çünkü küçük artışların kareleri mutlak toplamlarından daha hızlı yok olur
Bu nedenle olağan türevlenebilir fiyat eğrileri klasik zincir kurallarında ikinci dereceden bir düzeltme üretmez
Kuadratik varyasyon, birinci dereceden hareketler tek tek küçüldükten sonra bile görünür kalan pürüzlülüğü izole eder
Brown pürüzlülüğü her ölçekte hayatta kalır
Standart Brown hareketinin her önemsiz aralıkta toplam varyasyonu sonsuzdur, ancak [W]_t = t koşulunu sağlar
Sezgisel olarak, 1/Δt kadar artışın her birinin karesi Δt civarındadır; bu nedenle toplam bir mertebesinde kalır
Bu bir limit ifadesidir; dW/dt'nin var olduğu veya her karesel artışın dt'ye eşit olduğu yönünde noktasal bir cebirsel iddia değildir
Kovaryasyon ortak pürüzlü hareketi kaydeder
Kuadratik kovaryasyon [X,Y], ince parçalardaki ΔX·ΔY çarpımlarını toplar
Polarizasyon [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]) verir ve ortak değişimi tek tek kuadratik varyasyonlara bağlar
Korelasyonlu Brown sürücüleri için kovaryasyon, anlık bağımlılığı portföye ve çok değişkenli Itô formüllerine taşır
Itô formülü ikinci dereceden terimi korur
dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t için sürekli kuadratik varyasyon [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds olur
Taylor açılımı, karesel stokastik artışlar yok olmak yerine biriktiği için 1/2 f''(X_t)d[X]_t terimini korur
Bu düzeltme difüzyon fiyatlama denklemlerini yönlendirir ve stokastik kalkülüsü olağan diferansiyel kalkülüsünden ayırır
Sıçramalar karelerini ekler
Sıçramalı bir semimartingalin kuadratik varyasyonu, sürekli martingal varyasyonuna ek olarak Σ_{s≤t}(ΔX_s)² içerir
Böylece sürekli volatilite ılımlı olsa bile büyük bir sıçrama bir günün gerçekleşen kuadratik hareketine hâkim olabilir
Ekonomik soru kaynakların ayrılmasını gerektiriyorsa sürekli değişimi, sıçramaları ve sonlu varyasyonlu drift'i birbirinden ayırın
Gerçekleşen varyans limitin kendisi değil tahmincisidir
Yüksek frekanslı gerçekleşen varyans, gizli kuadratik varyasyonu yaklaştırmak için gözlenen gün içi getirilerin karelerini toplar
Çok seyrek örnekleme hareketi kaçırır; çok sık örnekleme ise alış-satış sekmesini, fiyat ayrıklığını, eşzamansız kotasyonları ve hatalı verileri büyütür
Ölçeği yorumlamadan önce örnekleme ızgaralarını karşılaştırın, sıçramaları açıkça temizleyin, işlem saatlerini hizalayın ve getiri tanımını ayırın
Sık sorulan sorular
Kuadratik varyasyon basitçe nedir?
Giderek incelenen bir zaman ızgarasında birçok küçük yol değişiminin karesi alınıp toplandığında geriye kalan harekettir
Brown hareketinin kuadratik varyasyonu neden t'dir?
Δt uzunluğundaki artışlarının karesel ölçeği Δt'dir; yaklaşık t/Δt kadar artış limitte t'ye birikir
Kuadratik varyasyon volatiliteyle aynı mıdır?
Hayır. Bir difüzyonda entegre edilmiş varyansa eşittir; volatilite ise genellikle bunun anlık oranı veya normalize edilmiş kareköküdür
Sıçramalar kuadratik varyasyonu nasıl etkiler?
Her sıçrama karesel büyüklüğünü ekler; dolayısıyla kuadratik varyasyon hem sürekli martingal değişimini hem de ayrık sıçrama değişimini içerir