Hansen J Testi: GMM’de Aşırı Tanımlama Kısıtları

Genelleştirilmiş momentler yöntemi (GMM), teorik moment koşullarının örneklemdeki karşılıklarını sıfıra olabildiğince yaklaştırarak parametre tahmin eder. Araç değişkenli bir modelde moment koşullarından biri, gerçek parametre değerinde önerilen araç değişkenin yapısal hatayla korelasyonsuz olduğunu ifade edebilir. Başka modellerde moment koşulları varlık fiyatlama denklemlerinden, Euler denklemlerinden veya panel veri kısıtlarından gelir.

Modelde bilinmeyen parametrelerden daha fazla moment koşulu varsa, tahmin sonrasında denetlenebilecek bazı ek kısıtlar kalır. Hansen J istatistiği, belirtilen bir ağırlık matrisi uygulandıktan sonra uydurulmuş örneklem momentlerinin sıfırdan ne ölçüde uzak kaldığını tek bir sayıyla özetler. Bu, söz konusu model altında yapılan ortak bir belirtim testidir. Tek tek araç değişkenlere “geçerli” ya da “geçersiz” etiketi koyan doğrudan bir denetim değildir.

Bu ayrım finans ve kantitatif araştırmalarında önemlidir. Bir alım satım ya da varlık fiyatlama modeli birden fazla moment koşulu içerebilir; ancak sonuç, bu momentleri tanımlayan getirilerin, faktörlerin, araç değişkenlerin, tarihlerin ve kovaryans varsayımlarının seçimine bağlıdır. Küçük bir p-değeri bu varsayım bütününe karşı kanıt olabilir; büyük bir p-değeri ise bütün varsayımların geçerli olduğuna dair bağımsız kanıt sayılmaz.

\(g_t(\theta)\), \(t\) tarihinde \(\theta\) parametre vektöründe değerlendirilen \(q\) bileşenli moment katkıları vektörü olsun. Örneklem ortalaması şöyledir:

\[ \bar g_T(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}g_t(\theta). \]

GMM, örneğin aşağıdaki ağırlıklı karesel uzaklığı en aza indiren \(\hat\theta\) tahminini seçer:

\[ Q_T(\theta) = T\,\bar g_T(\theta)'W_T\bar g_T(\theta), \qquad J = Q_T(\hat\theta), \]

burada \(W_T\) pozitif bir ağırlık matrisidir. Bu matris, moment koşulları arasındaki uyumsuzlukların ölçüte katkısını belirler. Etkin GMM, belirtilen örneklem varsayımları altında momentlerin uzun dönem kovaryans matrisinin tersiyle ilişkili bir ağırlık kullanır. J testi, tahmin yapılmadan seçilmiş bir parametredeki amaç değerini değil, en aza indirilmiş ölçütü kullanır.

Formül kısadır ama bileşenler birbirinin yerine geçmez. Araç değişkenleri değiştirmek \(g_t\)'yi, örneklemi değiştirmek ortalamayı, kovaryans tahmincisini değiştirmek ağırlığı değiştirebilir; tahmin yöntemi de uydurulmuş parametreleri değiştirebilir. Bu nedenle tekrarlanabilir bir J istatistiği için yalnızca bir sayı ve “robust” sözcüğünü bildirmek yeterli değildir.

\(q\) bağımsız moment koşulu ve yerel olarak tanımlanmış \(k\) parametre varsa, geleneksel aşırı tanımlama serbestlik derecesi \(q-k\)'dir. Örneğin iki parametreyi tahmin etmekte kullanılan üç bağımsız moment, bir aşırı tanımlama kısıtı bırakır. Tüm anakütle momentlerinin geçerli olduğu sıfır hipotezi altında ve uygun ağırlıklandırmayla J istatistiği, bu serbestlik derecesindeki ki-kare dağılımıyla asimptotik olarak karşılaştırılır.

Moment sayısı parametre sayısına eşitse model tam tanımlıdır ve uydurulmuş momentler genellikle sıfıra indirilebilir. J istatistiğinin değerlendireceği fazladan kısıt kalmaz; testin serbestlik derecesi sıfırdır ve aşırı tanımlamayı sınamaz. Bağımsız momentlerden daha fazla parametre olması ayrı bir tanımlama sorunudur; negatif serbestlik derecesi ya da anlamlı bir J testi yaratmaz.

Yazılım çıktısındaki sütun sayısını değil, etkin biçimde bağımsız moment kısıtlarını sayın. Yinelenen araç değişkenler veya doğrusal bağımlı momentler etkin rankı azaltabilir. Standart ki-kare referansı tanımlama ve diğer büyük örneklem koşullarına da dayanır. Nominal \(q-k\) değeri tekil veya kötü tahmin edilmiş bir moment kovaryans matrisini düzeltemez.

Hesaplamada kuramsal kısıt sayısıyla sayısal olarak bağımsız kısıt sayısını ayırt etmek gerekir. İki araç değişken neredeyse aynı bilgiyi sağlıyorsa veya örneklemde bir moment sütunu diğerlerinin doğrusal birleşimine çok yakınsa, kovaryans matrisinin tersi kararsız olabilir. Yazılım bu sorunu aşmak için sütun çıkarıyor ya da toleransla rank belirliyorsa, bildirilen serbestlik derecesi araştırmacının hesapladığı \(q-k\)'den farklı çıkabilir. Böyle durumlarda yalnızca J istatistiğini kopyalamayın; moment listesini, etkin rankı, hesaplama uyarılarını ve yazılım ayarlarını kaydedin. Kısıt sayısını değiştirmek, sınanan sıfır hipotezini de değiştirebilir.

Bir modelin iki parametreyi tahmin etmek için üç moment koşulu kullandığını ve bu nedenle geleneksel serbestlik derecesinin \(3-2=1\) olduğunu varsayalım. Bir yazılım, belirtilen kovaryans varsayımlarıyla tutarlı olması amaçlanan bir ağırlıklandırmayla J istatistiğini 5.4 olarak bildirsin. Bir serbestlik dereceli geleneksel ki-kare referansında bu yaklaşık 0.020 p-değerine karşılık gelir. Önceden belirlenmiş %5 düzeyinde araştırmacı, üç anakütle momentinin tümünün sıfır olduğu ortak sıfır hipotezini reddeder.

Bu sonuç, “ikinci araç değişken geçersizdir” demekten daha sınırlıdır. J istatistiği sistemin tamamı için tek bir ağırlıklı uzaklıktır ve çatışmaya hangi momentin yol açtığını belirtmez. Geçersiz bir araç değişken, yanlış belirlenmiş yapısal denklem, atlanmış dinamik özellik, yanlış kovaryans modeli veya korunan düzenekteki başka bir aksaklık aynı sonuca yol açabilir. Kaynağı araştırmak için ek tanılamalar ve konuya ilişkin değerlendirme gerekir.

P-değeri 0.20 olsaydı doğru sonuç, testin seçilen düzeyde ortak kısıtları reddetmediği olurdu. “Araç değişkenlerin geçerliliği kanıtlandı” denemezdi. Kısıtlar makul olduğu, testin gücü düşük kaldığı veya örneklem ihlalleri ayırt edemeyecek kadar küçük ya da gürültülü olduğu için test reddedememiş olabilir. Eşik, farklı model sonuçlarına bakmadan önce belirlenmelidir; kabul edilebilir görünen bir p-değerine ulaşana dek arama yapmak yeni bir seçim sorunu yaratır.

Sıfır hipotezi, test istatistiğinin referans dağılımını sağlayan model ve asimptotik koşullar çerçevesinde yorumlanan anakütle kısıtları kümesidir. J reddedildiğinde, kullanılan ağırlıklandırma altında bu korunan sistemin en azından bir bölümünü gözlenen örneklemle bağdaştırmak zordur. Test tek başına hatalı dışlama kısıtını yanlış fonksiyon biçiminden, atlanan durum bağımlılığından, veri kurma hatasından veya uygun olmayan uzun dönem kovaryans tahmininden ayıramaz.

Test nedenselliği de ortaya koymaz. Bir araç değişken tasarımında aşırı tanımlama testi, ek kısıtların model altında birbiriyle tutarlı olup olmadığını değerlendirebilir. Özellikle tüm araç değişkenler ortak bir ihlali paylaşabiliyorsa, her aracın dışlama kısıtını kanıtlayamaz. Araç değişken ilgililiği ve dışlama kısıtı farklı koşullardır. İlgililik için birinci aşama ve zayıf tanımlama tanılamalarını kullanın; dışlama gerekçesini ekonomik mekanizmayla açıklayın.

Doğrusal bir varlık fiyatlama uygulamasında J türü bir istatistik, belirli bir faktör modelinin ve test varlıkları kümesinin getirdiği ortak fiyatlama kısıtlarını sınayabilir. Reddedilmesi eksik faktörü otomatik olarak göstermez veya farklı, işlem gören bir stratejinin getiri sağlayacağını kanıtlamaz. Reddedilmemesi de modelin ekonomik açıdan doğru olduğunu göstermez. İlgili yatay kesit risk fiyatı yöntemi ve çıkarımsal sınırları Fama–MacBeth rehberinde ele alınır.

Klasik Sargan testi, araç değişken tahmininde ortaya çıkmış ve genellikle hataların eş varyanslı olması gibi kısıtlayıcı kovaryans varsayımlarına dayanmıştır. Hansen J testi, tahmin edilen moment kovaryansını kullanan GMM aşırı tanımlama istatistiğidir; değişen varyansı ve uygun bir uzun dönem kovaryans tahminiyle zaman bağımlılığını hesaba katabilir. Uygulamanın “Hansen” olarak adlandırılması her türlü belirtim hatasına dayanıklı olduğu anlamına gelmez; kovaryans ve ağırlık seçimleri moment süreciyle uyumlu olmalıdır.

Zaman serisi momentlerindeki seri bağımlılık, örneklem ortalamasının uzun dönem varyansını değiştirir. Newey–West gibi bir HAC tahmini, varsayımları ve gecikme seçimi veriye uyuyorsa uygun kovaryans hesabının parçası olabilir. Panel veya kümelenmiş gözlemler için farklı bir kovaryans yapısı gerekebilir. Yalnızca katsayı standart hatalarına uygulanan kovaryans düzeltmesi, J amacının uyumlu bir ağırlık matrisiyle oluşturulduğunu otomatik olarak göstermez.

Tek aşamalı, iki aşamalı ve yinelemeli GMM parametreleri farklı ağırlıklarla tahmin edebilir. Etkin iki aşamalı yöntemlerde tahmin edilen ağırlık matrisi sonlu örneklem belirsizliğine katkı yapar; özellikle gözlem sayısına kıyasla moment sayısı fazlaysa standart hatalar ve test davranışı kırılgan olabilir. Windmeijer'in incelediği sonlu örneklem düzeltmeleri, belirli doğrusal ve etkin iki aşamalı GMM düzenlerinde varyans tahmini içindir. Her J istatistiğine uygulanabilecek genel bir düzeltme değildir.

J testi araç değişken gücünü sınamaz. Zayıf bilgi taşıyan araçlar, parametre tahminlerini ve geleneksel yaklaşımları güvenilmez kılabilir. Güç için zayıf tanımlamaya uygun yöntemler kullanın; rahat görünen bir J p-değerini güç tanılaması saymayın. Asimptotik ki-kare kalibrasyonu, kısa bir finans örnekleminin asimptotik sınıra benzeyeceğini garanti etmez.

Araç değişken ya da moment koşulu eklemek daha fazla bilgi getiriyormuş gibi görünebilir. Dinamik panel GMM'de aşırı sayıda araç değişken içsel değişkenleri aşırı uyarlayabilir ve belirtim testlerinin ihlalleri saptama gücünü azaltabilir. Bu yüzden büyük bir araç değişken kümesiyle bulunan çok yüksek p-değeri fazla güvence sağlamayabilir. Sayıyı, gecikme veya oluşturma penceresini bildirin; uygunsa savunulabilir ölçüde küçültülmüş ya da birleştirilmiş araç kümeleriyle karşılaştırın.

Küçük örneklemler, neredeyse doğrusal bağımlı momentler, kötü kovaryans tahminleri, parametre sınırları ve zayıf tanımlama ders kitabındaki yorumları geçersiz kılabilir. Böyle durumlarda mekanik biçimde “J testi geçti” demek yerine duyarlılık analizi ve uygun alternatif çıkarım gerekir. Model seçiminde çok sayıda araç, gecikme aralığı, faktör ya da örneklem kesiti denendiyse bu aramayı açıklayın; en iyi görünen sonucu önceden belirlenmiş gibi sunmayın.

Araç değişkenleri azaltmak kendiliğinden daha iyi bir model oluşturmaz. Bazı koşulları çıkarmak tahmin kesinliğini düşürebilir veya başlangıçta hedeflenen ekonomik kısıtın artık sınanmamasıyla sonuçlanabilir. Öte yandan çok büyük bir küme, ağırlık tahminini kararsızlaştırabilir ve örnekleme aşırı uyuma yol açabilir. Her alternatifin amacını açıklayın; yalnızca sayısal olarak hesaplanabiliyor diye bir koşulu geçerli saymayın.

Bazı dinamik panel uygulamaları, ek bir araç bloğu gibi moment koşullarının bir alt kümesi için fark Hansen ya da C testi bildirir. Kavramsal olarak iç içe geçmiş karşılaştırma, o bloğun eklenmesinin geri kalan korunan momentlerle uyumlu kısıtlar getirip getirmediğini sorar. Test geri kalan belirtime koşulludur; her araç değişken için bağımsız bir onay belgesi değildir.

İki J istatistiğinin farkı yalnızca ilgili iç içe geçme, tahmin ve kovaryans koşulları altında bir referans dağılımına sahiptir. Karşılaştırılan modeller uyumlu örneklemleri ve moment tanımlarını kullanmalı; ağırlıklandırma ile sonlu örneklem davranışı da hesaba katılmalıdır. Tam araç kümesi büyükse alt küme testi düşük güce sahip olabilir. Birkaç blok sınandıysa yalnızca olumlu olanı seçmek yerine karşılaştırmaların tümünü bildirin.

Örneklemi, parametre vektörünü, moment tanımlarını, gözlem sayısını, kısıt sayısını ve etkin rankı, ayrıca serbestlik derecesini verin. Tek aşamalı, iki aşamalı ya da yinelemeli GMM'den hangisinin kullanıldığını; ağırlık matrisinin nasıl elde edildiğini; hangi kovaryans yapısına izin verildiğini ve varsa hangi küçük örneklem düzeltmesinin uygulandığını belirtin. J istatistiğini, referans dağılımını, p-değerini ve analiz için önceden belirlenen karar eşiğini raporlayın.

Araç değişken sayılarını ve oluşturma yöntemini, birinci aşama ya da ilgililik tanılamalarını ve moment kümelerindeki makul değişikliklere tahminlerin duyarlılığını gösterin. Araç değişkenlerin ekonomik zamanlama ve dışlama gerekçesini neden karşıladığını açıklayın; aşırı tanımlama testinin reddedilmemesi bu gerekçenin yerine geçmez. Alt küme testi kullanıyorsanız alt kümeyi ve karşılaştırmayı açıkça tanımlayın. Araç değişken varsayımları için içsellik ve araç değişkenler rehberine, kovaryans seçenekleri için robust standart hatalar ve HAC rehberine bakın.

Hansen'in GMM asimptotik kuramı, Sargan'ın araç değişken testi, Stock ve Wright'ın zayıf tanımlama analizi, Roodman'ın araç değişken çoğalması incelemesi, Windmeijer'in iki aşamalı varyansın sonlu örneklem analizi ve Newey ile West'in HAC kovaryans tahmincisi tasarımın farklı yönlerini ele alır. Bulguları, ampirik bir modeli genel olarak onaylayan sonuçlar değil, belirtilen varsayımlar altında geçerli sonuçlar olarak okuyun.