Opsiyon Fiyatlaması için Feynman–Kac Formülü Açıklaması
Feynman–Kac'ın doğrusal fiyatlama PDE'lerini iskontolu koşullu beklentilere nasıl bağladığını; üreteçleri, nakit akışlarını, sayısal yöntemleri ve sınırları öğrenin
Doğrudan yanıt
Feynman–Kac formülü, uygun bir doğrusal parabolik PDE çözümünü difüzyon yolları üzerindeki koşullu beklenti olarak ifade eder. Finansta bir fiyatlama denklemini, iskontolu vade sonu ve süreç içi nakit akışlarının beklenen değerine dönüştürür
Difüzyon üreteci yerel evrimi belirler
dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s olsun ve üreteci Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ olarak tanımlansın
Üreteç, durumun düzgün fonksiyonlarındaki sonsuz küçük koşullu değişimi özetler
Yolun kendisinin olağan anlamda hiçbir yerde türevi olduğunu iddia etmeden yol modelini diferansiyel denkleme bağlar
Geriye doğru PDE terminal koşuldan başlar
∂_t u + Lu - r u + f = 0 ve u(T,x) = g(x) terminal değeri verilsin
Burada g vade sonu getirisi, r öldürme veya iskonto oranı ve f işareti belirtilen PDE konvansiyonunu izleyen süreç içi kaynaktır
Terminal veri T'de bilindiği için durum difüzyonu ileriye doğru evrilse bile değerleme geriye doğru çalışır
Koşullu beklenti gösterimi verir
Düzenlilik ve integrallenebilirlik koşulları altında u(t,x), iskontolu g(X_T) ile iskontolu birikimli f'nin koşullu beklentisine eşittir
D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv) ile gösterim E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x] olur
D_{t,s}u(s,X_s)'ye Itô formülünü uygulamak drift'i kaynak teriminin negatifi yapar; beklentileri alınca özdeşlik elde edilir
İskonto operatörün parçasıdır
Sabit kısa oran, bilinen e^{-r(T-t)} çarpanını verir; duruma bağlı oranlar ise yol bazında bir integral gerektirir
Süreç içi temettüler, kuponlar, maliyetler veya kaynak terimleri terminal getirinin içine gizlenmek yerine zaman integralinden girer
PDE'deki işaretleri değiştirmek gösterimi de değiştirir; operatörü, terminal koşulu ve zaman yönünü tek paket olarak kopyalayın
Risk-nötr opsiyon fiyatlaması özel bir durumdur
Geçerli bir fiyatlama ölçüsü altında iskontolu işlem gören varlığın dinamikleri L'yi belirler ve türevin değeri ilgili fiyatlama PDE'sini çözer
Süreç içi ödemesi olmayan Avrupa tipi bir talep için fiyat, iskontolu terminal getirinin koşullu beklentisidir
Black–Scholes bu köprünün bir örneğidir; Feynman–Kac'ın tanımı değildir ve her piyasanın tam olduğuna kanıt oluşturmaz
PDE ve Monte Carlo aynı değeri hedefler
Sonlu farklar geriye doğru denklemi bir ızgarada çözerken Monte Carlo ileriye doğru yol beklentisini tahmin eder
Bağımsız uygulamalar arasındaki uyum, işaretleri, iskontoyu, sınır koşullarını ve örnekleme hatasını kontrol etmek için güçlü bir yöntemdir
Düşük boyutlu yüzeyler ve sınırlar için PDE yöntemlerini; durumlar veya yol fonksiyonları ızgaraları pahalılaştırdığında simülasyonu seçin
Teoremin koşulları ve sınırları vardır
Klasik ifadeler katsayılar, büyüme, düzenlilik, integrallenebilirlik ve teklik hakkında koşullar gerektirir; daha zayıf viskozite sürümleri kapsamı genişletir
Amerikan tipi kullanım bir engel veya varyasyonel eşitsizlik oluşturur; doğrusal olmayan fonlama veya kontrol problemleri yalın doğrusal formüle uymaz
Sıçramalar difüzyon PDE'sinin yerine integro-diferansiyel bir denklem getirir; yola bağlılık ise durumu genişletmeyi veya başka yöntemleri gerektirebilir
Sık sorulan sorular
Feynman–Kac formülü basitçe ne söyler?
Belirli bir diferansiyel denklem değerinin, ilişkili rastgele sürecin iskontolu sonuçlarının ortalaması alınarak hesaplanabileceğini söyler
Fiyatlama PDE'si neden geriye doğru çözülür?
Getiri vadede tanımlıdır; terminal değer bilindiği için cari değer bugüne doğru geri taşınır
Feynman–Kac risk-nötr fiyatlamayla aynı mıdır?
Hayır. Risk-nötr model fiyatlama ölçüsünü ve üreteci sağlar; Feynman–Kac daha sonra doğrusal PDE ile beklentiyi bağlar
Standart formül Amerikan tipi opsiyonları fiyatlar mı?
Doğrudan fiyatlamaz. Erken kullanım, eşitliği bir engel problemine veya optimal durdurma gösterimine dönüştürür