Opsiyon Fiyatlamasında Esscher Dönüşümü Açıklaması
Üstel eğmeyi, kümülan kaymalarını, Lévy ölçüsü değişikliklerini, martingal parametre seçimini, eksik piyasaları ve varlık kontrollerini anlayın
Doğrudan yanıt
Esscher dönüşümü x sonucunu e^{θx} ile ağırlıklandırır ve moment üreten fonksiyonuyla normalize eder. Üstel varlık modellerinde θ, iskontolu fiyatın eğilmiş ölçü altında martingal olması için seçilebilir
Üstel eğme sonuçları yeniden ağırlıklandırır
M(θ) = E[e^{θX}] sonlu olan bir X rastgele değişkeni için dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ) tanımlanır
Pozitif θ büyük sonuçları, negatif θ küçük sonuçları öne çıkarır; normalizasyon yeni ağırlıkların toplamını bire getirir
Dönüşüm gözlenen sonuçları değil olasılıkları değiştirir ve yalnızca üstel momentin sonlu olduğu yerde vardır
Kümülan fonksiyonu temiz biçimde kayar
Moment alanında κ(u) = log E[e^{uX}] olsun
Esscher ölçüsü altında kümülan κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ) olur
κ_θ'nin sıfırdaki türevleri sonlu olduklarında eğilmiş momentleri verir; bu da dönüşümü saddlepoint yöntemleri ve risk hesapları için elverişli kılar
Bir süreç zamanla tutarlı bir yoğunluk gerektirir
Bir Lévy süreci X_t için yoğunluk süreci Z_t = exp(θX_t - tκ(θ)) olur
Bağımsız durağan artışlar, θ geçerli moment alanındayken Z'yi pozitif bir martingal yapar
Q_θ altında süreç Lévy olarak kalır; ancak yol sonuçları ve sıfır olaylar uyumlu kalırken drift'i ve sıçrama yasası değişir
Lévy ölçüsü üstel olarak eğilir
Uygun konvansiyonlar altında sıçrama ölçüsü ν(dx)'ten ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)'e değişir
Brown varyansı değişmeden kalır; drift ise Brown eğmesi, sıçrama telafisi ve kesme konvansiyonu için ayarlanır
Kesme fonksiyonunu belirtmeden drift parametrelerini karşılaştırmak bu nedenle yanlış bir fark yaratabilir
Bir martingal koşulu fiyatlama parametresini seçer
Taşıma r-q olan S_t = S_0e^{X_t} için iskontolu martingal olma κ_θ(1) = r-q koşulunu gerektirir
Eşdeğer olarak, her iki üstel moment mevcutken κ(θ+1) - κ(θ) = r-q çözülür
Denklemin hiç çözümü, tek çözümü veya moment sınırına yakın sayısal istikrarsızlığı olabilir; parametre seçimi otomatik değildir
Esscher eksik piyasada bir seçimdir
Sıçrama riski genellikle tamamen kapsanmaz; bu nedenle birçok eşdeğer martingal ölçüsü arbitrajsızlığı sağlayabilir
Esscher kuralı, üstel olarak eğilmiş bir model ailesini koruyarak bunlardan birini seçer; ancak yalnızca arbitrajsızlık onu her alternatife üstün kılmaz
Ekonomik tercihler, kalibrasyon hedefleri, entropi ölçütleri, hedge amaçları veya piyasa konvansiyonları farklı bir ölçü gerektirebilir
Doğrulama kuyrukları da içermelidir
θ ve θ+1 için moment alanını, yoğunluk normalizasyonunu, eşdeğer desteği, martingal eşitliğini ve dönüştürülmüş üçlüyü doğrulayın
Örneklem içi istikrarlı bir θ'nin istikrarsız kuyruk dışa uzatmasını gizleyebilmesi nedeniyle vadeler ve rejimler boyunca yeniden kalibre edin
Esscher seçiminin model risk maliyetini göstermek için alternatif geçerli ölçüler altındaki opsiyon fiyatlarını ve hedge hatalarını karşılaştırın
Sık sorulan sorular
Esscher dönüşümü basitçe nedir?
Büyük veya küçük sonuçlara üstel olarak daha fazla ağırlık veren ve sonra yeniden normalize eden yeni bir olasılık yasası oluşturur
Esscher parametresi opsiyon fiyatlaması için nasıl seçilir?
Genellikle iskontolu modellenen varlık fiyatının dönüştürülmüş ölçü altında martingal olması sağlanacak şekilde seçilir
Esscher dönüşümü her zaman var mıdır?
Hayır. Gerekli üstel momentler sonlu olmalı ve martingal denkleminin geçerli bir çözümü bulunmalıdır
Esscher martingal ölçüsü tek midir?
Esscher ailesi içinde parametre tek olabilir; buna rağmen başka eşdeğer martingal ölçüleri de var olabilir