Edgeworth ve Gram–Charlier Açılımları Açıklaması
Edgeworth ve Gram–Charlier açılımlarının kümülanları nasıl kullandığını, sıralamalarının neden farklı olduğunu ve opsiyon fiyatlama ile kuyruk tahmininde nelerin yanlış gidebileceğini karşılaştırın
Doğrudan yanıt
Gram–Charlier, bir yoğunluğu kümülan farklarını kullanarak referans dağılım çevresinde biçimsel olarak açar. Edgeworth, ilişkili Hermite düzeltmelerini çoğu zaman örneklem büyüklüğünün kuvvetleri gibi bir asimptotik düzene göre yeniden sıralar. Bu sıralama Edgeworth’a daha açık bir hata mantığı verir; ancak kesilmiş serilerin hiçbiri otomatik olarak geçerli bir yoğunluk değildir
İkisi de tanıdık bir referans yasayla başlar
Bir değişken standartlaştırıldıktan sonra her iki yöntem de çoğu zaman Hermite polinomlarıyla normal yoğunluğa düzeltmeler yazar
Çarpıklık asimetrik bir düzeltme getirirken fazla basıklık, Gauss referansına göre omuz ve kuyruk şeklini değiştirir
Ortak gösterim, türetimleri ve yorumları farklı olsa da iki açılımı birbirinin yerine kullanılabilir gibi gösterir
Gram–Charlier biçimsel bir kümülan açılımıdır
Gram–Charlier serisi, hedef yoğunluğu kümülan farklarıyla ağırlıklandırılmış bir referans yoğunluğunun türevleri üzerinden ifade eder
Pratik bir kesme, çarpıklık ve basıklık terimlerini yorumlanabilir oldukları için tutabilir; tek bir kontrollü hata derecesini paylaştıkları için değil
Yakınsama zayıf veya mevcut olmayabilir; daha fazla biçimsel terim eklemek seçilen bir noktadaki yaklaşımı iyileştirmeyebilir
Edgeworth asimptotik ölçeğe göre sıralanır
Standartlaştırılmış toplamlar için kümülanlar n’de bilinen hızlarda küçülür; böylece düzeltmeler n^{-1/2} gibi kuvvetler halinde gruplanabilir
Bir sonraki derecede terimler yalnızca bir sonraki Hermite polinomunu değil, dördüncü kümülanları ve üçüncü kümülanın karesini birlikte içerebilir
Bu nedenle bir Edgeworth kesmesinin anlamı ancak dizisi, normalizasyonu ve iddia edilen asimptotik geçerlilik bölgesiyle birlikte vardır
Opsiyon formülleri momentleri fiyat düzeltmelerine çevirir
Yaklaşık opsiyon değerlemesi, ödemeyi düzeltilmiş risksiz yoğunluğa göre integre edebilir veya Black–Scholes gibi bir referans etrafında açabilir
Jarrow–Rudd seçilen yaklaşık dağılım etrafında bir açılım geliştirirken Corrado–Su çarpıklık ve basıklık için Gram–Charlier düzeltmelerini uyarlar
Opsiyonlardan çıkarıldığında uydurulan kümülanlar risksiz fiyatlama nicelikleridir; fiziksel getiri frekanslarına dair doğrudan tahminler değildir
Moment eşleştirme kuyrukları kontrol etmez
Birçok dağılım aynı ilk dört momenti paylaşırken çöküşlere veya aşırı yükselişlere çok farklı olasılıklar atar
Hermite düzeltmeleri merkezden uzakta hızla büyür; ortalama yakınında küçük olan bir terim kuyruklarda baskın hale gelip salınım yapabilir
Daha yüksek örneklem veya zımni momentler de gürültülüdür; katsayılar kararsız olabilir ve kalibrasyonda kullanılan kullanım fiyatı aralığına güçlü biçimde bağlı kalabilir
Kesilmiş bir seri dağılım olmayabilir
Yaklaşık yoğunluk negatif olabilir, bire integre olmayabilir veya alanının bir bölümünde azalan bir KDF üretebilir
Opsiyon uzayında bu kusurlar sınırların dışındaki fiyatlar veya kullanım fiyatı monotonluğu ile kelebek konveksliği ihlalleri olarak görünebilir
Yeniden normalize etmek yalnızca toplam kütleyi düzeltir; pozitifliği, forward ortalamasını veya her arbitrajsızlık koşulunu kendiliğinden geri getirmez
Açılımı yerel bir tanılama olarak kullanın
Katsayıları yorumlamadan önce referans yasayı, standardizasyonu, korunan asimptotik dereceyi, kümülan konvansiyonunu ve kullanım fiyatı bölgesini belirtin
Daha geniş bir ızgarada yoğunluk pozitifliğini ve normalizasyonu kontrol edin, iskonto edilmiş forward’ı geri kazanın ve alım fiyatı monotonluğu ile konveksliğini test edin
Özellikle likit kullanım fiyatlarının ötesine ekstrapolasyon yapmadan önce örnek dışı sonuçları pozitif yoğunluklu bir model veya doğrudan opsiyon interpolasyonuyla karşılaştırın
Sık sorulan sorular
Edgeworth ile Gram–Charlier arasındaki temel fark nedir?
Edgeworth düzeltmeleri asimptotik bir ölçeğe göre sıralar; Gram–Charlier ise temelde kümülan farklarının biçimsel bir açılımıdır
Her iki açılım neden Hermite polinomlarını kullanır?
Hermite polinomları normal yoğunluğun ardışık türevlerinden doğar ve onları kümülan düzeltmelerinin doğal taşıyıcıları yapar
Dört moment bir opsiyon fiyatı dağılımını belirleyebilir mi?
Hayır. İlk dört momenti aynı olan dağılımlar farklı kuyruk şekillerine ve dolayısıyla farklı uzak kullanım fiyatı opsiyonlarına sahip olabilir
Negatif yaklaşık yoğunluğu yeniden normalize etmek yeterli midir?
Hayır. Toplam kütle düzeltilebilirken negatiflik, yanlış forward ortalaması, azalan KDF veya opsiyon arbitraj ihlalleri devam edebilir