Dynkin'in Stokastik Süreçler İçin Formülü Açıklandı

Zaman açısından homojen bir Markov süreci X için, oluşturucu L, doğrudan gerçekleştirilmiş bir yola değil, bir test fonksiyonu f'ye uygulanır.

Biçimsel olarak Lf(x), E_x[f(X_h)] eksi f(x)'in kısa zaman limitinin h'ye bölümüdür.

Etki alanı önemlidir: gereken limit, düzgünlük ve integrallenebilirlik sürece ve teoremin versiyonuna bağlıdır

Deterministik t için temel form şöyledir: E_x[f(X_t)] = f(x) + E_x[∫₀ᵗ Lf(X_s) ds]

Sol taraf sonlu ufuk beklentisini temsil ederken, sağ taraf başlangıç değerini birikmiş yerel beklenen değişime ekler

Bu, bir türevi entegre etmenin stokastik karşılığıdır, ancak L sürüklenmeyi, yayılmayı ve muhtemelen sıçrama etkilerini içerir

Uygun koşullar altında t, bir bölgeden ilk çıkış gibi bir durma süresi τ ile değiştirilebilir.

Daha sonra sınır olayları ve isabet zamanı soruları, τ öncesinde üreteci içeren beklenti kimlikleri haline gelir.

İsteğe bağlı örnekleme otomatik değildir: sınırlılık, yerelleştirme, tekdüze bütünleştirilebilirlik veya diğer hipotezler durdurulan beklentiyi haklı çıkarmalıdır

M_t = f(X_t) - f(X_0) - ∫₀ᵗ Lf(X_s) ds süreci, uygun etki alanı koşulları altında yerel bir martingaledir

Haklı beklentilerin alınması martingale artışını ortadan kaldırır ve Dynkin formülünü üretir

Bir Itô difüzyonu için, Itô formülünün uygulanması, L'yi sapma ve kovaryanstan tanımlar, böylece iki sonuç rekabet etmek yerine birbirine uyar

İndirimli değer fonksiyonu, model ve talep koşulları geçerli olduğunda bir fiyatlandırma ölçüsü altında öngörülebilir bir kazanç elde etmeyecek şekilde tasarlanmıştır.

Dynkin formülünün bu değere uygulanması, devam bölgesinde ilgili jeneratör kalıntısının ortadan kalkmasına neden olur.

Bu, riskten bağımsız beklentilerden geriye dönük fiyatlandırma denklemlerine ve durdurulan beklentilerden sınır değer sorunlarına giden bir yoldur.

f(x) = x, x² veya başka bir polinomun seçilmesi, ortaya çıkan üreteç terimlerinin kapandığı anlar için denklemler türetebilir

Bir Lyapunov fonksiyonunun seçilmesi bunun yerine çıkış olasılıklarını, beklenen durma sürelerini veya uzun vadeli istikrarı sınırlayabilir

Formül sizin için f'yi seçmez; içgörü, üreteci ilgilenilen miktarı ortaya çıkaran bir fonksiyonun seçilmesiyle elde edilir

Sınırsız işlevler, patlayıcı süreçler, düzensiz sınırlar ve sonsuz durma süreleri, sıradan bir beklenti adımını geçersiz kılabilir

Atlama süreçleri integral terimli bir oluşturucu kullanırken, zaman açısından homojen olmayan modeller bir zaman türevi veya artırılmış durum ekler

Kimliği sayısal bir kısayol olarak ele almadan önce süreci, oluşturucu etki alanını, durdurma kuralını ve integrallenebilirlik koşullarını belirtin