Realized Semivariance: วัดความผันผวนขาขึ้นและขาลงแยกกัน

ให้ \(r_i\) เป็น log return ระหว่างวันซึ่งสังเกตในช่วงเวลาคงที่หนึ่งช่วง Realized variance คือผลรวมกำลังสองของผลตอบแทน \(RV=\sum_i r_i^2\) การยกกำลังสองทำให้ทั้งกำไรและขาดทุนเป็นบวก และให้น้ำหนักการเคลื่อนไหวขนาดใหญ่กว่า สถิตินี้วัดความแปรผันสะสมในช่วงนั้น แต่ไม่ได้บอกว่ามาจากการเคลื่อนไหวขึ้นหรือลง

Realized semivariance เก็บเครื่องหมายของผลตอบแทนไว้ก่อนยกกำลังสอง ส่วนบวกจะรวมกำลังสองของผลตอบแทนที่มากกว่าศูนย์ ส่วนลบจะรวมค่าที่ต่ำกว่าศูนย์ หากใช้ข้อมูลและข้อตกลงเดียวกัน ผลรวมของสองส่วนเท่ากับ realized variance ผลตอบแทนศูนย์ไม่เพิ่มค่าให้ส่วนใด ความเท่ากันนี้เป็นอัตลักษณ์ทางการคำนวณ ไม่ใช่หลักฐานว่าแต่ละส่วนเป็นแหล่งความเสี่ยงเชิงสาเหตุที่แยกจากกัน

การแยกนี้มีประโยชน์เมื่อคำถามวิจัยเกี่ยวกับความแปรผันตามทิศทาง เช่น ความแปรผันจากผลตอบแทนลบในอดีตให้ข้อมูลเกี่ยวกับ volatility ในอนาคตต่างจากความแปรผันจากผลตอบแทนบวกหรือไม่ Barndorff-Nielsen, Kinnebrock และ Shephard เสนอ realized semivariance เป็นตัววัดความแปรผันขาลงความถี่สูง working paper ของพวกเขา อธิบายความเชื่อมโยงกับ quadratic variation และ negative jumps

สำหรับผลตอบแทน \(r_1,\ldots,r_n\) นิยามว่า

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

โดย \(\mathbf{1}(\cdot)\) มีค่าเป็นหนึ่งเมื่อเงื่อนไขเป็นจริง และเป็นศูนย์หากไม่จริง ดังนั้น

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

งานวิจัยบางชิ้นใช้ชื่อหรือ superscript ต่างกัน รายงานจึงควรระบุว่าพจน์ใดหมายถึงผลตอบแทนบวกและพจน์ใดหมายถึงผลตอบแทนลบ สูตรนี้ใช้ผลตอบแทนที่ไม่ center รอบศูนย์ โดยไม่หักค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ผลตอบแทนเป้าหมาย หรืออัตราปลอดความเสี่ยง Sample semivariance ที่คำนวณรอบเป้าหมายหรือค่าเฉลี่ยเป็นสถิติคนละแบบ

หน่วยเป็นกำลังสองของหน่วยผลตอบแทน หากผลตอบแทนอยู่ใน basis point แต่ละส่วนจะมีหน่วย \(\text{bp}^2\) หากใช้ decimal log return หน่วยคือ decimal-return squared การเปลี่ยนจากผลตอบแทนร้อยละเป็น basis point ทำให้ค่าตัวเลขของ measure กำลังสองเพิ่ม 10,000 เท่า จึงต้องระบุหน่วยกำกับตัวเลข

สมมติว่า session สมมติมีผลตอบแทนหกรายการในหน่วย basis point:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

ผลตอบแทนบวกมีส่วน \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\) ผลตอบแทนลบมีส่วน \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\) ส่วนผลตอบแทนศูนย์ไม่เพิ่มค่า ดังนั้น realized variance คือ

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

ในตัวอย่างเล็กนี้ สัดส่วนฝั่งลบคือ \(21/34\) หรือประมาณ 61.8% และฝั่งบวกประมาณ 38.2% นี่เป็นสัดส่วนของผลรวมที่สร้างขึ้น ไม่ใช่ความน่าจะเป็นของการขาดทุนในอนาคตหรือค่าประมาณของความไม่สมมาตรระยะยาวที่คงที่ ผลตอบแทนเพียงหกรายการไม่เพียงพอสำหรับการอนุมาน สาธิตนี้มีไว้ตรวจสอบนิยามและเลขคณิตเท่านั้น

คู่มือ realized volatility กล่าวถึงผลรวมกำลังสองของผลตอบแทนที่ยังไม่แยกข้าง ส่วน คู่มือ bipower variation ตอบคำถามต่างออกไป คือการประมาณความแปรผันต่อเนื่องเมื่ออาจมี jump เกิดขึ้นไม่บ่อย สามารถศึกษาทั้ง directional semivariance และ jump-robust variation ร่วมกันได้ แต่ใช้แทนกันไม่ได้

หาก latent log-price เป็น continuous semimartingale และการสุ่มตัวอย่างถี่ขึ้นเรื่อย ๆ ภายใต้ regularity conditions ที่เกี่ยวข้อง positive และ negative return semivariance จะ converge ไปยังครึ่งหนึ่งของ continuous quadratic variation แต่ละด้าน ในกรณีนี้ผลรวมจาก finite sample อาจต่างกัน แม้ continuous variation พื้นฐานไม่มีการแยกทิศทางที่ต่อเนื่อง เพราะความสุ่มจากการ sampling มีผล

เมื่อเกิด jump ค่ากำลังสองของขนาด jump จะถูกจัดเข้าฝั่งบวกหรือลบตามเครื่องหมาย วิธีนี้เก็บข้อมูลที่ total realized variance ทิ้งไป แต่ไม่ได้หมายความว่าผลตอบแทนลบทุกค่าคือ jump หรือผลตอบแทนบวกทุกค่าปลอดภัย การเคลื่อนไหวต่อเนื่องขนาดใหญ่และ jump ต่างก็ทำให้ squared return สูงได้ เครื่องหมายจัดประเภท increment ที่สังเกตได้ ไม่ได้บอกสาเหตุทางเศรษฐกิจ

ภาพแนวคิดด้านล่างแยก increment บวกและลบเป็นสองกลุ่มภาพ ภาพนี้ไม่ใช่กราฟข้อมูล ผลการทดสอบ หรือข้ออ้างว่ากระบวนการพื้นฐานมีอคติด้านทิศทางอย่างต่อเนื่อง

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

สามารถใช้ realized semivariance เป็น predictor แยกกันในโมเดลสำหรับ volatility ในอนาคตได้ Patton และ Sheppard พบใน การศึกษาดัชนี S&P 500 และหุ้นรายตัว ว่า ในตัวอย่างและ specification ของพวกเขา ความแปรผันจากผลตอบแทนลบในอดีตสัมพันธ์กับ volatility ในอนาคตมากกว่าความแปรผันจากผลตอบแทนบวก นี่เป็นผลเชิงประจักษ์เฉพาะการออกแบบนั้น ไม่ใช่กฎของทุกตลาดหรือการรับประกันว่ากลยุทธ์ใหม่จะพยากรณ์ได้ดี

หากจะอ้างความสามารถในการพยากรณ์ ให้ระบุเป้าหมายและ horizon เปรียบเทียบกับ benchmark ที่เหมาะสม และประเมิน out of sample ความแตกต่างระหว่าง \(RS^-\) กับ \(RS^+\) ในวันเดียวเป็นเพียงคำบรรยาย ไม่ได้ยืนยัน predictive power Regression อาจต้องคำนึงถึง volatility persistence, horizon ที่ทับซ้อนกัน, parameter uncertainty และ data selection ด้วย ควรประเมิน forecast error ด้วย loss function ที่สอดคล้องกับการตัดสินใจ

ในส่วนขยายหลายตัวแปร Bollerslev, Li, Patton และ Quaedvlieg พัฒนา realized semicovariance ซึ่งแยก realized covariance ตามเครื่องหมายของ paired high-frequency returns บทความใน Econometrica แสดงว่าองค์ประกอบเครื่องหมายเหมือนกันและเครื่องหมายผสมกันอาจมีข้อมูลต่างกัน การแบ่งบวก/ลบแบบตัวแปรเดียวเรียบง่ายกว่า และไม่ควรนำเสนอว่าเป็นการแยก covariance หรือ portfolio risk อย่างครบถ้วน

คำว่า “downside semivariance” มีหลายความหมาย Realized measure ในที่นี้ยกกำลังสองผลตอบแทนความถี่สูงที่ต่ำกว่าศูนย์ ส่วน target-based downside statistic ยกกำลังสองผลตอบแทนที่ต่ำกว่า threshold ซึ่งมักเป็น target หรือผลตอบแทนขั้นต่ำที่ยอมรับได้ การคำนวณจากตัวอย่างอาจ center observation รอบค่าเฉลี่ยด้วย นิยามเหล่านี้ตอบคำถามต่างกันและให้ค่าแตกต่างกันได้แม้ใช้ return series เดียวกัน

Realized semivariance ทั้งสองฝั่งไม่ใช่ Value-at-Risk หรือ Expected Shortfall VaR อธิบาย quantile ของ loss distribution และ horizon ที่กำหนด ส่วน Expected Shortfall สรุป loss ที่เกิน quantile ภายใต้ convention ที่ระบุ ผลรวมกำลังสองของผลตอบแทนลบระหว่างวันไม่มีความหมายอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ และไม่ใช่การวัด drawdown แบบครบถ้วน เพราะ drawdown ขึ้นกับลำดับและเส้นทางของผลตอบแทน

หากกราฟหรือโมเดลเรียก \(RS^-\) ว่า “downside risk” ให้ให้คำจำกัดความไว้ข้างกัน ระบุว่าผลตอบแทนวัดจากศูนย์หรือจาก target ใช้ sampling frequency ใด และค่านั้นเป็นสถิติรายช่วง input ของ forecast หรือ measure ของพอร์ต คู่มือ GARCH volatility อธิบาย dynamics ของ conditional variance ส่วน realized semivariance เป็นการวัดทิศทางความถี่สูงที่อาจพิจารณาเป็น input ได้

การแยกเครื่องหมายขึ้นกับลำดับผลตอบแทนที่สังเกตได้ การ sampling ถี่ขึ้นอาจเพิ่ม bid–ask bounce, price discreteness, stale quotes และผลจาก timestamp การเปลี่ยน price proxy หรือ sampling grid อาจทำให้ sign ของการเปลี่ยนราคาเล็ก ๆ กลับด้านได้ ดังนั้น microstructure noise จึงเปลี่ยนได้ทั้งขนาดกำลังสองและฝั่งที่จัดผลตอบแทนเข้าไป ความเท่ากัน \(RV=RS^++RS^-\) ยังเป็นจริงสำหรับ series ที่เลือก แต่ไม่ได้ยืนยันว่า sampling design ถูกต้อง

เพื่อเปรียบเทียบอย่างทนทาน ให้บันทึก price field, sampling interval, ขอบเขต session, การจัดการ zero return, กฎ outlier และ return ของสินทรัพย์ต่าง ๆ synchronous กันหรือไม่ ตรวจ sensitivity ข้ามตัวเลือก sampling ที่อธิบายรองรับได้ หากการระบุ jump หรือความทนทานต่อ noise เป็นคำถามหลัก ให้ใช้ estimator หรือ test ที่ออกแบบมาสำหรับเป้าหมายนั้น ไม่ควรตีความการแยก sign เป็นการแก้ไข คู่มือ two-scale realized volatility อธิบายการแก้ noise อีกแบบหนึ่ง

การอนุมานเชิงสถิติยังต้องมี sampling distribution หรือ resampling design ที่เหมาะสม องค์ประกอบบวกและลบมาจากเส้นทางเดียวกันและอาจพึ่งพากัน หน้าต่างที่ทับซ้อนกันยิ่งเพิ่ม dependence ช่วงความเชื่อมั่นหรือการเปรียบเทียบ forecast ต้องคำนึงถึงคุณสมบัติเหล่านี้ การเทียบ point estimate สองค่าลำพังไม่ได้ทดสอบว่าบทบาทในการพยากรณ์ต่างกันหรือไม่

รายงานที่ชัดเจนระบุ series ผลตอบแทนของสินทรัพย์หรือพอร์ต ช่วงสังเกต นิยามผลตอบแทน sampling grid และหน่วย แสดงสูตร \(RS^+\) และ \(RS^-\) ยืนยันว่าผลรวมได้ realized variance และอธิบายการจัดการศูนย์กับข้อมูลที่หาย หาก measure ถูกใช้ในโมเดลพยากรณ์ ให้รายงาน horizon, benchmark, ช่วงประเมิน และ loss function ด้วย

อย่าแปลง realized semivariance เป็น annualized volatility โดยไม่ระบุสมมติฐานการรวมข้อมูล สามารถรวม semivariance รายวันเป็นยอดรายปีเชิงพรรณนาภายใต้ convention ที่เลือกได้ แต่รากที่สองของผลรวมไม่ได้เป็น downside standard deviation ที่ทราบ distribution โดยอัตโนมัติ การ annualize ไม่แก้ price input ที่มี bias, sampling ที่ห่างเกินไป หรือ selection effects

การใช้งานหลักคือการวัดอย่างมีวินัย: เก็บทิศทางของผลตอบแทนที่สังเกตได้แต่ละค่า พร้อมใช้ quadratic weighting แบบ realized variation ผลลัพธ์อาจเผย pattern ที่น่าทดสอบต่อ แต่ไม่สามารถระบุสาเหตุ วัด tail probability หรือเปลี่ยน asymmetry ในอดีตให้เป็นสัญญาณซื้อขายได้ด้วยตัวเอง