Bipower Variation: ทำความเข้าใจความผันผวนที่คำนวณได้และทนต่อการกระโดด

Realized variance ความถี่สูงคำนวณจากผลรวมกำลังสองของผลตอบแทนลอการิทึมระหว่างวัน เมื่อช่วงห่างของการสุ่มตัวอย่างสั้นลงภายใต้แบบจำลอง semimartingale ที่เหมาะสม RV จะลู่เข้าสู่ quadratic variation หากเส้นทางราคามีทั้ง diffusion แบบต่อเนื่องและการกระโดด ลิมิตดังกล่าวจะรวมทั้งความแปรปรวนสะสมและผลรวมกำลังสองของขนาดการกระโดด ดังนั้น RV จึงใช้วัดความแปรปรวนรวมย้อนหลังได้ แต่เพียงค่าเดียวไม่ได้บอกว่าส่วนใดมาจากการเคลื่อนไหวต่อเนื่องหรือจากความไม่ต่อเนื่อง

Bipower variation เปลี่ยนองค์ประกอบที่นำมาคำนวณ: แทนที่จะยกกำลังสองผลตอบแทนหนึ่งค่า จะนำขนาดสัมบูรณ์ของผลตอบแทนสองค่าที่อยู่ติดกันมาคูณกัน ในแบบจำลองลิมิต การกระโดดที่เกิดโดดเดี่ยวมักอยู่ในช่วงผลตอบแทนช่วงเดียว ส่วนผลตอบแทนข้างเคียงมักเป็น diffusion increment ขนาดเล็ก เมื่อกริดละเอียดขึ้น ผลคูณที่เกี่ยวข้องกับผลตอบแทนซึ่งมีการกระโดดและผลตอบแทนข้างเคียงจะเล็กลง ขณะที่ผลคูณของ diffusion return ที่อยู่ติดกันยังสะสมความแปรปรวนต่อเนื่อง Barndorff-Nielsen และ Shephard เสนอการใช้ power variation และ bipower variation เพื่อแยกความแปรปรวนสะสมออกจากความแปรปรวนที่เกิดจากการกระโดดไม่บ่อยภายใต้แบบจำลองที่ระบุไว้ (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2004).

เป้าหมายคือความแปรปรวนสะสมย้อนหลัง \(\int_0^T \sigma_t^2\,dt\) ไม่ใช่การพยากรณ์ความผันผวนของช่วงถัดไป คู่มือคำนวณ realized volatility อธิบายมาตรวัดจากผลตอบแทนกำลังสอง ส่วนบทความนี้อธิบายว่าเหตุใดผลคูณของค่าสัมบูรณ์จากผลตอบแทนที่อยู่ติดกันจึงตอบสนองต่อการกระโดดต่างออกไป

พิจารณากระบวนการราคาลอการิทึมในช่วงเวลาคงที่:

\[ X_t=X_0+\int_0^t b_s\,ds+\int_0^t \sigma_s\,dW_s+J_t, \]

โดยพจน์แรกหลัง \(X_0\) คือ drift ที่มี finite variation, \(\sigma_t\) คือความผันผวนของ diffusion ณ ขณะนั้น และ \(J_t\) คือองค์ประกอบการกระโดด quadratic variation ของกระบวนการนี้แยกได้เป็น

\[ [X]_T=\int_0^T \sigma_t^2\,dt+\sum_{0<t\leq T}(\Delta X_t)^2, \]

โดย \(\Delta X_t=X_t-X_{t-}\) พจน์แรกคือความแปรปรวนสะสมแบบต่อเนื่อง ส่วนพจน์ที่สองคือความแปรปรวนจากการกระโดด ขนาดการกระโดดมีส่วนร่วมเป็นกำลังสอง ไม่ว่าจะเป็นการกระโดดขึ้นหรือลง คู่มือ quadratic variation ในการเงิน อธิบายว่าเหตุใดปริมาณตามเส้นทางนี้จึงต่างจากความแปรปรวนของชุดราคาคงที่

สำหรับผลตอบแทนลอการิทึมระหว่างวัน \(n\) ค่า \(r_i=X_{i\Delta}-X_{(i-1)\Delta}\) โดย \(\Delta=T/n\), realized variance คือ

\[ RV_n=\sum_{i=1}^{n}r_i^2. \]

เมื่อช่วงเวลาละเอียดขึ้นภายใต้เงื่อนไข semimartingale ทั่วไป \(RV_n\) จะประมาณ quadratic variation ทั้งหมด ซึ่งรวมการกระโดดด้วย ดังนั้นหากรายงานเรียก RV ว่า “ความผันผวนต่อเนื่อง” โดยไม่ได้ตั้งสมมติฐานว่าไม่มีการกระโดด ก็เท่ากับนำเป้าหมายสองแบบมาปะปนกัน

กำหนดให้ \(Z\) มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน และ \(\mu_1=E|Z|=\sqrt{2/\pi}\) รูปแบบหนึ่งที่ใช้กันทั่วไปสำหรับ realized bipower variation คือ

\[ BV_n=\mu_1^{-2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}| =\frac{\pi}{2}\frac{n}{n-1}\sum_{i=2}^{n}|r_i||r_{i-1}|. \]

ตัวคูณ \(\pi/2\) ปรับผลคูณของ Gaussian increment แบบค่าสัมบูรณ์ให้ตรงกับสเกลความแปรปรวนต่อเนื่อง ส่วน \(n/(n-1)\) เป็นการปรับปลายช่วงสำหรับตัวอย่างขนาดเล็กตามรูปแบบหนึ่ง นิยามบางแบบละตัวคูณนี้เพราะจะเข้าใกล้หนึ่งเมื่อ \(n\) เพิ่มขึ้น ควรระบุรูปแบบที่ใช้เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์

ผลรวมใช้คู่ข้างเคียงที่ทับซ้อนกัน: ผลตอบแทนลำดับ 2 จับคู่กับลำดับ 1, ลำดับ 3 กับลำดับ 2 ต่อเนื่องไป วิธีนี้ไม่ได้จัดประเภทแต่ละ observation ว่า “กระโดด” หรือ “ไม่กระโดด” ผลลัพธ์เชิงลิมิตอาศัยข้อเท็จจริงว่า ภายใต้การกระโดดแบบ finite activity จะมีเพียงบริเวณเล็ก ๆ จำนวนจำกัดที่มีการกระโดดเมื่อกริดละเอียดขึ้น ขณะที่ผลคูณของ diffusion return ที่อยู่ติดกันสร้างลิมิตของความแปรปรวนสะสมต่อเนื่อง ทฤษฎีลิมิตรองรับพฤติกรรมความผันผวนสุ่มได้หลายรูปแบบ รวมถึง dependence แบบ leverage ภายใต้สมมติฐานของทฤษฎี (Barndorff-Nielsen et al., 2006).

<!-- learn:illustration -->

สมมติว่าช่วงการซื้อขายหนึ่งที่สร้างขึ้นเพื่อเป็นตัวอย่างมีผลตอบแทนลอการิทึม 7 ค่า หน่วยเป็น basis point:

สมมติว่าผลตอบแทนลำดับที่ 4 มีการกระโดดสมมติ \(+12\) bp หนึ่งครั้ง และการเคลื่อนไหวต่อเนื่องในช่วงนั้นมีค่าน้อยมาก ดังนั้น

\[ RV_7=1+1+0.01+144+0.01+1+1=148.02\ \mathrm{bp}^2. \]

ผลรวมของ adjacent absolute-return product ทั้ง 6 ค่าเท่ากับ \(4.60\ \mathrm{bp}^2\) เมื่อนำไปคำนวณตามรูปแบบที่ปรับปลายช่วงข้างต้น จะได้

\[ BV_7=\frac{\pi}{2}\frac{7}{6}(4.60)\approx 8.42994\ \mathrm{bp}^2, \qquad RV_7-BV_7\approx139.59006\ \mathrm{bp}^2. \]

กำลังสองของขนาดการกระโดดที่ใส่ไว้คือ \(12^2=144\ \mathrm{bp}^2\) ผลต่างไม่เท่ากับ 144 พอดี เพราะผลคูณที่อยู่ติดกับการกระโดดมีพจน์ \(12\times0.1\) และตัวอย่างที่มีเพียง 7 ผลตอบแทนยังมีความแปรปรวนตามปกติจากขนาดตัวอย่างจำกัด ตัวอย่างสมมตินี้ทำให้ตรวจสอบเลขได้ ไม่ใช่ข้อมูลตลาดจริงและไม่ได้อ้างว่าผลต่างจากช่วงสั้นจะกู้คืนความแปรปรวนจากการกระโดดได้อย่างแม่นยำ

ผลความสอดคล้องมาตรฐานมีเงื่อนไข ภายใต้ semimartingale ที่มีความผันผวนสุ่มแบบต่อเนื่องและมีการกระโดดจำนวนจำกัดในช่วงเวลา BV จะลู่เข้าสู่ความแปรปรวนสะสมแบบต่อเนื่องเมื่อสังเกตถี่ขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่มี microstructure noise ในกรอบเดียวกัน \(RV_n-BV_n\) จะลู่เข้าสู่ผลรวมกำลังสองของการกระโดด นี่คือการแยกองค์ประกอบในเชิงลิมิต ไม่ใช่การรับประกันสำหรับทุกอนุกรมผลตอบแทนหรือทุกกริดที่มีขนาดจำกัด

เงื่อนไข finite activity สำคัญ หากมีการกระโดดเล็กจำนวนมากหรือการกระโดดที่มี infinite activity ความแปรปรวนจากการกระโดดอาจมีส่วนร่วมอย่างมีนัยสำคัญในผลคูณ absolute return ที่อยู่ติดกัน ผล BV มาตรฐานจึงอาจแยกได้ไม่เฉพาะองค์ประกอบ Brownian เท่านั้น อาจต้องใช้วิธีขยาย การตัดทอน หรือการทดสอบการกระโดดอื่น โดยแต่ละวิธีมีสมมติฐานต่างกัน Aït-Sahalia และ Jacod พัฒนาการทดสอบการกระโดดความถี่สูงอีกแบบสำหรับ semimartingale ที่ครอบคลุมกว้างขึ้น นี่เป็นกรอบทดสอบทางเลือก ไม่ใช่หลักฐานว่า BV ทั่วไปรองรับกระบวนการกระโดดทุกชนิด (Aït-Sahalia & Jacod, 2009).

การออกแบบ observation ก็สำคัญเช่นกัน ผลตอบแทนควรอ้างถึงช่วงเวลาเดียวกันและชุดราคาที่อธิบายที่มาได้ ช่วงเวลาที่ห่างกัน, stale quote, การซื้อขายไม่พร้อมกัน, ช่องว่างข้ามคืน และการกระโดดใกล้ขอบเขต session ทำให้การตีความกริดละเอียดอ่อนลง การสุ่มตัวอย่างที่ถี่ขึ้นช่วยได้ต่อเมื่อ observation เข้าใกล้ latent efficient price แทนที่จะเพิ่ม microstructure noise

ภายใต้แบบจำลอง asymptotic ที่ไม่มี noise และมี finite-activity jumps ค่า RV ลบ BV ใช้ประมาณความแปรปรวนจากการกระโดดได้ แต่ใน finite sample ผลต่างอาจติดลบ แม้ว่าผลรวมกำลังสองของการกระโดดจะติดลบไม่ได้ สาเหตุคือ RV และ BV เป็นค่าประมาณที่มี noise ของลิมิตคนละค่า อย่าปรับค่าติดลบเป็นศูนย์โดยไม่รายงาน: การตัดค่าทำให้พฤติกรรม sampling ของ estimator เปลี่ยนไป และควรระบุเป็นกฎอย่างชัดเจน

การทดสอบทางสถิติตอบคำถามอีกข้อ: gap ที่สังเกตได้มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับความไม่แน่นอนจาก sampling ภายใต้สมมติฐานศูนย์ที่ไม่มีการกระโดดหรือไม่ Barndorff-Nielsen และ Shephard สร้างการทดสอบ asymptotic จาก realized power variation และ bipower variation วิธีที่นำไปใช้ได้จริงจะประมาณ quarticity ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งมักใช้ multipower measure แทนการถือว่าผลต่างดิบเป็นเกณฑ์นัยสำคัญ (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2006) ต่อมามีการพัฒนา threshold bipower variation เพื่อลดการบิดเบือนจากการกระโดดในตัวอย่างขนาดเล็กและรองรับการอนุมานภายใต้สมมติฐานทางเลือกที่มีการกระโดด (Corsi, Pirino & Reno, 2010).

แม้ตรวจพบการกระโดด ก็ยังเป็นการจำแนกทางสถิติที่อิงแบบจำลอง ความถี่ sampling และระดับนัยสำคัญที่เลือกไว้ ไม่ได้ระบุสาเหตุจากข่าว ไม่ได้พิสูจน์ว่าผู้ซื้อขายส่งคำสั่งได้ที่ราคาที่บันทึกไว้ และไม่ได้ยืนยันว่ากลยุทธ์ทำกำไรได้

BV แบบคลาสสิกไม่ใช่ estimator ความถี่สูงที่ทนต่อ noise หากราคาที่สังเกตได้คือ \(Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}\), bid–ask bounce, การปัดเศษ และการอัปเดต quote จะเพิ่ม noise ให้ผลตอบแทนแต่ละค่า เนื่องจาก BV คูณค่าสัมบูรณ์ของผลตอบแทนที่อยู่ติดกัน noise จึงไม่ได้หายไปเพียงเพราะสูตรใช้ adjacent product เมื่อสุ่มตัวอย่างถี่มากขึ้น ผลของ noise อาจมีความสำคัญมากขึ้นด้วย

นี่เป็นปัญหาคนละอย่างกับการกระโดด Realized kernel และ two-scale realized variance ใช้โครงสร้างการคำนวณต่างกันเพื่อประมาณความผันผวนเมื่อมี microstructure noise จึงใช้แทน BV ปกติไม่ได้ และการทน noise ก็ไม่ได้หมายความว่าจะทนต่อการกระโดด คู่มือ realized kernel อธิบายวิธีหนึ่งที่มุ่งจัดการ noise

หากคำถามวิจัยต้องจัดการทั้ง noise และการกระโดด ให้เลือกวิธีที่พัฒนาสำหรับคุณสมบัติทั้งสองและระบุเงื่อนไข Podolskij และ Vetter พัฒนา modulated bipower variation สำหรับข้อมูลที่มี noise และสร้างรูปแบบที่ทนต่อ finite-activity jumps วิธีดังกล่าวคือ estimator ที่ปรับแก้ ไม่ใช่สูตรที่ยังไม่ได้ปรับข้างต้น (Podolskij & Vetter, 2009) ทางเลือกเชิงปฏิบัติอาจรวม sampling ที่ห่างขึ้น, pre-averaging, measure แบบ threshold หรือ estimator ที่ทน noise แต่ละทางเลือกเปลี่ยน estimand, ค่าปรับตั้ง หรือวิธีคำนวณความไม่แน่นอน

เมื่อสมมติฐานใช้ได้ BV ประมาณองค์ประกอบความแปรปรวนสะสมต่อเนื่องในอดีต ส่วน RV ประมาณ quadratic variation ทั้งหมดของเส้นทางที่มีการกระโดด ผลต่างอาจประมาณ quadratic variation จากการกระโดดในเชิง asymptotic ไม่มีค่าใดเป็น forecast, risk limit หรือสัญญาณเข้าเทรดโดยอัตโนมัติ โมเดลพยากรณ์อาจใช้ RV และ BV ในอดีตเป็นตัวทำนายแยกกันได้ แต่ต้องประเมินความสามารถในการพยากรณ์นอกตัวอย่าง โดยควบคุมเวลาที่ข้อมูลพร้อมใช้และต้นทุนการซื้อขาย

รากที่สองของค่าประมาณความแปรปรวนจะเรียกว่าความผันผวนได้เมื่อระบุช่วงเวลาและหน่วยชัดเจน หากผลตอบแทนเป็น basis point ความแปรปรวนมีหน่วย bp² และรากที่สองมีหน่วย bp สำหรับช่วงเวลาที่สุ่มตัวอย่าง การ annualize ต้องมีสมมติฐานเรื่องการปรับสเกลตามเวลาที่ชัดเจน การคูณด้วยปัจจัยปฏิทินไม่ได้กำจัดการกระโดด, microstructure noise หรือทางเลือกในการวัดช่วงข้ามคืน คู่มือความเสี่ยงจากการกระโดด อธิบายว่าการเปลี่ยนราคาที่ไม่ต่อเนื่องส่งผลต่อ hedge exposure อย่างไร แต่ไม่ได้ทำให้การแยก BV ในอดีตกลายเป็นคำสั่งซื้อขาย

ระบุสินทรัพย์ แหล่งราคาที่ใช้ (ธุรกรรม, quote หรือ midpoint) นิยามผลตอบแทน ความถี่ sampling ขอบเขต session และวิธีจัดการช่วงข้ามคืนกับข้อมูลที่หายไป รายงานสูตร RV และ BV, convention การ normalize สำหรับ finite sample, จำนวนผลตอบแทน และหน่วย หากคำนวณ \(RV-BV\) ให้แสดงผลต่างดิบและระบุว่าใช้ threshold, truncation หรือจำกัดค่าที่ไม่ให้ต่ำกว่าศูนย์หรือไม่

อธิบายแบบจำลองที่รองรับการตีความ: ความผันผวนสุ่มต่อเนื่องที่มี finite-activity jumps หรือแบบจำลองการกระโดดที่ครอบคลุมกว้างขึ้นและใช้ estimator ต่างกัน เปิดเผยการปรับ microstructure noise, สถิติทดสอบการกระโดด, ค่าประมาณ quarticity, ระดับนัยสำคัญ และการปรับสำหรับการทดสอบหลายครั้ง รายงานค่าความไม่แน่นอนควบคู่กับการแยกองค์ประกอบ

ประโยชน์ของ bipower variation คือ adjacent absolute-return product ยังคงมีลิมิตของความแปรปรวนต่อเนื่อง ขณะเดียวกันก็ลดผลกระทบเชิง asymptotic จากการกระโดดเดี่ยวที่มี finite activity ข้อจำกัดต้องระบุควบคู่กัน: สูตรมาตรฐานไม่ใช่ jump filter ทั่วไป ไม่ใช่การทดสอบนัยสำคัญ และไม่ใช่การแก้ microstructure noise ควรแนบข้อจำกัดเหล่านี้ทุกครั้งที่ใช้วิเคราะห์ความเสี่ยงหรือทำวิจัย