หลัก maximum entropy ในการเงิน

สำหรับความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง p_i, Shannon entropy คือ H(p)=−Σ_i p_i log p_i

Maximum entropy ทำให้ H มีค่าสูงสุดภายใต้ p_i≥0, Σ_i p_i=1 และข้อจำกัด เช่น Σ_i p_i f_j(x_i)=c_j

ผลลัพธ์ไม่ได้เพิ่มโครงสร้างที่ปรับเข้ากับข้อมูลนอกเหนือจากสิ่งที่ support การแทนค่าพื้นฐาน และข้อจำกัดที่ประกาศบังคับ

เมื่อมี reference measure m และข้อจำกัด expectation เชิงเส้น คำตอบโดยทั่วไปมีรูป p_θ(x)=m(x)exp[Σ_jθ_jf_j(x)−ψ(θ)]

log normalizer ψ ทำให้ความน่าจะเป็นรวมเป็นหนึ่ง ขณะที่ gradient ของมันจับคู่กับ expectation ของแบบจำลองตามข้อจำกัด

Hessian ของ ψ คือเมทริกซ์ covariance ซึ่งเชื่อมโยงความโค้งของ dual เข้ากับ identifiability และ conditioning เชิงตัวเลข

Differential entropy เปลี่ยนเมื่อเปลี่ยนพิกัดแบบ nonlinear และไม่ใช่ปริมาณข้อมูลที่หายไปซึ่งไม่ขึ้นกับการแทนค่า

การลด relative entropy KL(p||m) เมื่อเทียบกับ prior หรือ base measure ที่ชัดเจน ทำให้เห็นการพึ่งพานั้น

การเปลี่ยน state variable, support, grid หรือ reference m อาจเปลี่ยนคำตอบ แม้ข้อจำกัดพาดหัวจะดูเหมือนกัน

ราคาของ European option ที่คิดลดคือ risk-neutral expectation ของฟังก์ชัน payoff และสามารถจำกัดการแจกแจงปลายทางได้

Normalization และ forward martingale condition ต้องมาพร้อมกับข้อจำกัดของ strike การคิดลด เงินปันผล และ convention ของสัญญา

Buchen–Kelly ใช้ maximum entropy เพื่ออนุมานการแจกแจงของสินทรัพย์จากราคาออปชัน ส่วน minimum cross-entropy สามารถรวมกฎ prior ได้

mid ที่มี noise อาจละเมิดขอบเขตราคา monotonicity ของ strike หรือ convexity ทำให้ไม่มีการแจกแจงไม่เป็นลบที่จับคู่กับราคาเสนอทุกตัวได้พอดี

Bid-ask band การฟิตแบบถ่วงน้ำหนัก หรือตัวแปร slack สามารถทำให้กลับมามีความเป็นไปได้ แต่แต่ละทางเลือกเปลี่ยนข้อมูลที่ถูกบังคับให้คำตอบใช้

ข้อจำกัดใกล้ขอบเขต feasible อาจรวมมวลเข้าด้วยกัน ดัน dual multiplier ออกไปไกล และทำให้ optimization มี conditioning แย่

Maximum entropy เลือกการแจกแจงหนึ่งจากเซตที่มีคำตอบได้หลายแบบ ไม่ได้พิสูจน์ว่าตลาดทำตามการแจกแจงนั้น

strike ที่เบาบางทำให้รูปทรง tail ถูกระบุได้อย่างอ่อน และ entropy อาจกระจายมวลตาม base measure แทนหลักฐานทางเศรษฐกิจ

การเพิ่มข้อจำกัดที่มี noise จำนวนมากอาจ overfit ราคาเสนอ ขณะที่ข้อจำกัดน้อยเกินไปอาจซ่อนโครงสร้าง smile และประเมินความไม่แน่นอนระหว่าง strike ต่ำเกินไป

ตรวจสอบ positivity, normalization, forward mean, เงื่อนไข bid-ask ที่ฟิตทุกข้อ และคุณสมบัติ static-arbitrage บนกริด strike ที่หนาแน่น

รบกวนราคาเสนอ grid จุดปลาย support prior น้ำหนักข้อจำกัด และ tolerance ของ solver เพื่อเปิดเผยข้อสรุป tail ที่ไม่เสถียร

เปรียบเทียบราคาออปชัน out-of-sample และรายงานทางเลือก entropy, dual residual, ข้อจำกัดที่ active และความไม่แน่นอน แทนการรายงานเพียง density โดยนัยเดียว