อธิบาย Feynman–Kac Formula สำหรับการกำหนดราคาออปชัน
ทำความเข้าใจว่า Feynman–Kac เชื่อม linear pricing PDE กับ discounted conditional expectations อย่างไร รวมถึง generators, cash flows, numerics และข้อจำกัด
คำตอบโดยตรง
Feynman–Kac formula แทนคำตอบของ linear parabolic PDE ที่เหมาะสมด้วย conditional expectation บนเส้นทางของ diffusion ในการเงิน มันเปลี่ยน pricing equation ให้เป็น expected discounted terminal และ running cash flows
diffusion generator กำหนดการเปลี่ยนแปลงเฉพาะที่
ให้ dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s, และกำหนด generator ของมันเป็น Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ
generator สรุป conditional change แบบ infinitesimal ของฟังก์ชันเรียบของ state
มันเชื่อม path model เข้ากับ differential equation โดยไม่ได้อ้างว่า path ที่หาอนุพันธ์ไม่ได้ทุกแห่งจะมีอนุพันธ์แบบสามัญ
backward PDE เริ่มจาก terminal condition
พิจารณา ∂_t u + Lu - r u + f = 0 โดยมี terminal value u(T,x) = g(x)
ในที่นี้ g คือ terminal payoff, r คือ killing หรือ discount rate และ f คือ running source ที่เครื่องหมายเป็นไปตาม convention ของ PDE ที่ระบุ
เนื่องจากรู้ terminal data ที่ T การประเมินมูลค่าจึงทำย้อนหลัง แม้ diffusion ของ state จะวิวัฒน์ไปข้างหน้า
Conditional expectation ให้ representation
ภายใต้เงื่อนไขด้าน regularity และ integrability, u(t,x) เท่ากับ conditional expectation ของ g(X_T) ที่ discount แล้ว บวก f ที่สะสมและ discount แล้ว
เมื่อ D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv), representation คือ E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]
การใช้ Itô's formula กับ D_{t,s}u(s,X_s) ทำให้ drift ของมันเท่ากับลบ source term ซึ่งให้ identity หลังนำ expectation มาคำนวณ
Discounting เป็นส่วนหนึ่งของ operator
short rate คงที่ให้ factor ที่คุ้นเคย e^{-r(T-t)} แต่ rate ที่ขึ้นกับ state ต้องใช้ pathwise integral
เงินปันผล coupon ต้นทุน หรือ source term ที่จ่ายระหว่างทางเข้าผ่าน time integral แทนการซ่อนไว้ใน terminal payoff
การเปลี่ยนเครื่องหมายใน PDE เปลี่ยน representation ดังนั้นควรคัดลอก operator, terminal condition และทิศทางของเวลาเป็นชุดเดียวกัน
Risk-neutral option pricing เป็นกรณีเฉพาะ
ภายใต้ pricing measure ที่ใช้ได้ dynamics ของสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้เมื่อ discount แล้วจะกำหนด L และมูลค่า derivative จะเป็นไปตาม pricing PDE ที่เกี่ยวข้อง
สำหรับ claim แบบยุโรปที่ไม่มี running payments ราคาเป็น conditional expectation ของ terminal payoff ที่ discount แล้ว
Black–Scholes เป็นตัวอย่างหนึ่งของสะพานนี้ ไม่ใช่นิยามของ Feynman–Kac และไม่ใช่หลักฐานว่าตลาดทุกแห่ง complete
PDE และ Monte Carlo มุ่งไปยังมูลค่าเดียวกัน
finite differences แก้ backward equation บน grid ขณะที่ Monte Carlo ประมาณ forward-path expectation
ความสอดคล้องระหว่าง implementation อิสระเป็นการตรวจสอบที่ทรงพลังสำหรับเครื่องหมาย discounting boundary conditions และ sampling error
เลือก PDE สำหรับ surface และ boundary ที่มีมิติต่ำ เลือก simulation เมื่อ states หรือ path functionals ทำให้ grid มีต้นทุนสูง
ทฤษฎีมีเงื่อนไขและ boundary
ข้อความแบบ classical ต้องมีเงื่อนไขของ coefficients, growth, regularity, integrability และ uniqueness ส่วนรูปแบบ viscosity ที่อ่อนกว่าจะขยายขอบเขตการใช้
การใช้สิทธิแบบ American สร้าง obstacle หรือ variational inequality และปัญหา funding หรือ control แบบ nonlinear ไม่เข้ากับสูตร linear ธรรมดา
jumps เปลี่ยน diffusion PDE ให้เป็น integro-differential equation ขณะที่ path dependence มักต้องขยาย state หรือใช้วิธีอื่น
คำถามที่พบบ่อย
Feynman–Kac formula กล่าวอย่างง่ายว่าอย่างไร
กล่าวว่ามูลค่าจาก differential equation บางชนิดคำนวณได้ด้วยการเฉลี่ยผลลัพธ์ที่ discount แล้วของ random process ที่เกี่ยวข้อง
เหตุใด pricing PDE จึงแก้ย้อนหลัง
payoff ถูกกำหนดเมื่อ maturity ดังนั้นรู้ terminal value และ propagate มูลค่าย้อนกลับมาทางวันนี้
Feynman–Kac เหมือนกับ risk-neutral pricing หรือไม่
ไม่ risk-neutral modeling ให้ pricing measure และ generator ส่วน Feynman–Kac เชื่อม PDE แบบ linear และ expectation ของมัน
สูตรมาตรฐานกำหนดราคา American options ได้หรือไม่
ไม่ได้โดยตรง การใช้สิทธิก่อนกำหนดเปลี่ยน equality ให้เป็น obstacle problem หรือ representation แบบ optimal stopping