อสมการแปรผันและขอบเขตอิสระในออปชัน
เรียนรู้ว่ามูลค่าออปชันอเมริกันผสานการที่ผลตอบแทนต้องไม่ต่ำกว่าการใช้สิทธิทันที PDE ของการรอต่อ ปัญหาส่วนเติมเต็ม ขอบเขตอิสระ smooth fit และการตรวจสอบเชิงตัวเลขอย่างไร
คำตอบโดยตรง
อสมการแปรผันของออปชันอเมริกันกำหนดให้มูลค่าต้องสูงกว่าผลตอบแทนจากการใช้สิทธิทันที และต้องเป็นไปตามสมการกำหนดราคาในบริเวณที่การรอเป็นทางเลือกที่เหมาะสม การสัมผัสกันของเงื่อนไขเหล่านี้เป็นตัวกำหนดขอบเขตการใช้สิทธิที่ยังไม่ทราบค่า
การใช้สิทธิทันทีสร้างอุปสรรค
ให้ g(t,S) เป็นผลตอบแทนจากการใช้สิทธิ และ V(t,S) เป็นมูลค่าของออปชันอเมริกัน
เนื่องจากผู้ถือสามารถใช้สิทธิได้ทันที V ≥ g ในทุกเวลาและสถานะที่ยอมรับได้ก่อนหมดอายุ
ดังนั้นผลตอบแทนจึงเป็นอุปสรรคที่อยู่ใต้ผิวมูลค่า ไม่ใช่เพียงเงื่อนไขปลายทาง
บริเวณการรอเป็นไปตามสมการกำหนดราคา
เมื่อ V > g การใช้สิทธิทันทีไม่เหมาะสม และออปชันยังคงมีอายุอยู่
ในบริเวณการรอนี้ แบบจำลองการแพร่ให้ ∂_tV + LV - rV + f = 0 โดยมีการปรับสำหรับเงินปันผลหรือกระแสเงินสดระหว่างทาง
สมการนี้ใช้ได้เฉพาะจุดที่เลือกการรอ การบังคับใช้สมการภายในบริเวณใช้สิทธิจะละเลยสิทธิในการหยุด
ส่วนเติมเต็มเชื่อมสองระบอบเข้าด้วยกัน
รูปแบบหนึ่งที่ใช้กันทั่วไปคือ max(g-V, ∂_tV + LV - rV + f) = 0
ดังนั้น V-g ≥ 0 ส่วนเหลือของการรอต้องมีเครื่องหมายที่สอดคล้องกัน และอย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไขต้องเกิดพันธะที่ทุกจุด
รูปแบบ min ที่เทียบเท่ากันจะกลับเครื่องหมาย ดังนั้นต้องตรวจสอบตัวดำเนินการและแบบแผนของอสมการไปพร้อมกัน
ขอบเขตการใช้สิทธิเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ
เซต V = g คือบริเวณหยุด และ V > g คือบริเวณการรอ
รอยต่อระหว่างสองบริเวณเป็นขอบเขตอิสระ เพราะตำแหน่งของมันยังไม่ทราบก่อนแก้ปัญหามูลค่า
สำหรับ put อเมริกันมาตรฐาน มักเป็นระดับสินทรัพย์อ้างอิงวิกฤตที่เปลี่ยนไปตามเวลา แต่ดอกเบี้ย เงินปันผล การกระโดด และข้อจำกัดอาจเปลี่ยนรูปร่างได้
การจับคู่มูลค่ากว้างกว่าการ smooth fit
ที่ขอบเขตปกติ การจับคู่มูลค่าให้ V = g และ smooth fit อาจให้อนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เท่ากัน
smooth fit เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขเพิ่มเติมด้านเส้นทางและความสม่ำเสมอ การกระโดด จุดหักของผลตอบแทน ขอบเขตไม่สม่ำเสมอ หรือข้อจำกัดอาจทำให้มันไม่เป็นจริง
ถือว่า smooth pasting เป็นทฤษฎีบทที่ต้องพิสูจน์ในแบบจำลองที่เลือก ไม่ใช่นิยามสากลของการใช้สิทธิที่เหมาะสม
วิธีเชิงตัวเลขแก้ปัญหาส่วนเติมเต็ม
กริดผลต่างจำกัดนำไปสู่ปัญหาส่วนเติมเต็มเชิงเส้นในแต่ละขั้นเวลา
Projected SOR วิธี penalty, policy iteration, front fixing และกฎหยุดจากการถดถอย แก้การประมาณที่แตกต่างกันของทางเลือกเดียวกัน
ตรวจสอบการครอบงำของอุปสรรค ส่วนเติมเต็มของ residual ความเป็นโมโนโทนของขอบเขต การลู่เข้าของกริด และขอบล่างจากนโยบายที่ใช้สิทธิ
ปัจจัยเศรษฐกิจเปลี่ยนรูปร่างของขอบเขต
โดยทั่วไป call อเมริกันบนหุ้นที่ไม่จ่ายเงินปันผลจะไม่ถูกใช้สิทธิก่อนกำหนดภายใต้สมมติฐานอัตราดอกเบี้ยเป็นบวกมาตรฐาน แต่ข้อยกเว้นมีความสำคัญ
เงินปันผล อัตราดอกเบี้ยติดลบ ต้นทุนการยืม การจ่ายเงินแบบเป็นงวด กฎการชำระราคา และเส้นตายการใช้สิทธิอาจกลับข้อสรุปที่คุ้นเคย
ใช้สัญญาและตัวแปรสถานะจริง ขอบเขตที่ดูเรียบจากแบบจำลองอย่างง่ายไม่ใช่หลักฐานของกฎการใช้สิทธิที่ซื้อขายได้
คำถามที่พบบ่อย
อสมการแปรผันในการกำหนดราคาออปชันอเมริกันคืออะไร?
เป็นเงื่อนไขกระชับที่บังคับใช้ทั้งสิทธิในการใช้สิทธิทันทีและสมการกำหนดราคาเมื่อการรอให้ผลดีกว่า
ขอบเขตอิสระคืออะไร?
คือรอยต่อที่ไม่ทราบค่าซึ่งแยกสถานะที่การใช้สิทธิเหมาะสมออกจากสถานะที่การถือออปชันต่อเหมาะสมกว่า
Smooth pasting เป็นจริงเสมอหรือไม่?
ไม่เสมอ ต้องมีความสม่ำเสมอและพฤติกรรมของเส้นทางที่เหมาะสม และอาจล้มเหลวเมื่อมีการกระโดด จุดหัก ข้อจำกัด หรือจุดหยุดที่ไม่สม่ำเสมอ
แก้อสมการแปรผันด้วยวิธีเชิงตัวเลขอย่างไร?
วิธีทั่วไปได้แก่ การทำซ้ำแบบ projected วิธี penalty, policy iteration, front fixing และผลต่างจำกัดที่คำนึงถึงส่วนเติมเต็ม