สมการ Kolmogorov Forward และ Backward อธิบาย

กระบวนการ Markov ใช้ตัวดำเนินการ transition P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x] เพื่อแมปฟังก์ชันในอนาคตกลับมายังสถานะปัจจุบัน

ความสัมพันธ์ Chapman–Kolmogorov P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u} บอกว่าการแทรกเวลาตรงกลางไม่เปลี่ยน transition

สมการ forward และ backward เป็นมุมมองเชิงอนุพันธ์ของ semigroup เดียวกันหรือของตระกูลวิวัฒนาการแบบสองพารามิเตอร์

สำหรับ dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t generator คือ L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ โดย a = σ²

มันทำงานกับฟังก์ชันทดสอบของสถานะและสรุปการเปลี่ยนแปลงแบบมีเงื่อนไขในทันที

Generator ขึ้นกับกระบวนการ ปริภูมิสถานะ โดเมน และพฤติกรรมที่ขอบเขต นิพจน์เชิงอนุพันธ์แบบเป็นทางการเพียงอย่างเดียวไม่ครบถ้วน

สำหรับฟังก์ชันปลายทาง g ให้กำหนด u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x] โดย s ≤ t

ภายใต้ความเรียบที่เหมาะสม u เป็นไปตาม ∂_s u + L_su = 0 และเงื่อนไขปลายทาง u(t,x) = g(x)

มันเรียกว่า backward เพราะฟังก์ชันปลายทางถูกตรึงไว้ ขณะที่เวลาที่ใช้เป็นเงื่อนไข s เคลื่อนกลับเข้าหาปัจจุบัน

Adjoint L_t† นิยามผ่าน ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx หลังจัดการพจน์ขอบเขตแล้ว

สำหรับ diffusion หนึ่งมิติ L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)

Adjoint ย้าย generator จากฟังก์ชันทดสอบไปยังความหนาแน่น โดยกลับทิศของอนุพันธ์ที่ integration by parts กำหนด

หาก ρ(t,x) เป็นความหนาแน่นของสถานะ มันเป็นไปตาม ∂_tρ = L_t†ρ จากการแจกแจงเริ่มต้น

สมการเดียวกันเมื่อใช้กับความหนาแน่น transition จะวิวัฒนาตัวแปรปลายทาง โดยตรึงจุดเริ่มต้นไว้

การทำให้รวมเป็นหนึ่ง ความไม่เป็นลบ flux และเงื่อนไขขอบเขตเป็นตัวกำหนดว่าโซลูชันเชิงรูปแบบเป็นกฎความน่าจะเป็นที่ใช้ได้หรือไม่

การประเมินมูลค่าอนุพันธ์มักแก้สมการ backward จาก payoff ปลายทาง โดย discounting เพิ่มพจน์ killing

การพยากรณ์การแจกแจง โปรไฟล์ exposure การ calibrate density และการคำนวณความเสี่ยงบางอย่างแก้สมการ forward จากกฎสถานะของวันนี้

ผลลัพธ์ทั้งสองควรสอดคล้องกันผ่านการอินทิเกรต: ค่า backward เท่ากับ payoff ในอนาคตที่อินทิเกรตกับความหนาแน่น transition แบบ forward

ขอบเขตแบบ absorbing, reflecting, entrance และ inaccessible กำหนดเงื่อนไขค่ากับ probability-flux ต่างกัน

ตรวจสอบการอนุรักษ์หรือการสูญเสียมวลตามที่ตั้งใจ ความเป็นบวก ข้อมูลปลายทางและเริ่มต้น การทำ discretization ของ adjoint และการลู่เข้าเมื่อขยายกริด

ค่าประมาณจาก Monte Carlo ที่ทำแยกกันสามารถเปิดเผยข้อผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย drift ขอบเขต และทิศทางเวลาในตัวแก้ PDE แต่ละตัว