อธิบาย Edgeworth กับ Gram–Charlier Expansions
เปรียบเทียบว่า Edgeworth และ Gram–Charlier ใช้ cumulants อย่างไร เหตุใดลำดับจึงต่างกัน และอะไรอาจผิดพลาดในการกำหนดราคาออปชันและประมาณ tail
คำตอบโดยตรง
Gram–Charlier ขยาย density รอบ distribution อ้างอิงด้วยความแตกต่างของ cumulant ส่วน Edgeworth จัด Hermite corrections ที่เกี่ยวข้องใหม่ตามลำดับ asymptotic ซึ่งมักเป็นกำลังของขนาดตัวอย่าง ลำดับนี้ทำให้เหตุผลด้าน error ของ Edgeworth ชัดกว่า แต่ truncated series ทั้งสองไม่ได้เป็น density ที่ถูกต้องโดยอัตโนมัติ
ทั้งคู่เริ่มจากกฎอ้างอิงที่คุ้นเคย
หลัง standardize ตัวแปร ทั้งสองวิธีมักเขียน correction ให้ normal density ด้วย Hermite polynomials
Skewness สร้าง correction แบบไม่สมมาตร ส่วน excess kurtosis เปลี่ยนรูปร่างบริเวณไหล่และ tail เทียบกับ Gaussian reference
สัญกรณ์ร่วมทำให้ expansions ดูแทนกันได้ แม้ derivation และการตีความจะแตกต่าง
Gram–Charlier คือ cumulant expansion แบบเป็นทางการ
Gram–Charlier series แสดง target density ผ่านอนุพันธ์ของ reference density ที่ถ่วงด้วยความแตกต่างของ cumulant
การตัดทอนเชิงปฏิบัติอาจเก็บพจน์ skewness และ kurtosis เพราะตีความได้ ไม่ใช่เพราะมี error order ที่ควบคุมร่วมกัน
Convergence อาจแย่หรือไม่มี และการเพิ่มพจน์เชิงรูปแบบไม่จำเป็นต้องทำให้ approximation ดีขึ้นในจุดที่เลือก
Edgeworth เรียงตาม asymptotic scale
สำหรับ standardized sums cumulants ลดลงด้วยอัตราที่ทราบใน n ทำให้จัด correction เป็นกำลัง เช่น n^{-1/2}
ใน order ถัดไป พจน์อาจรวม fourth cumulants และกำลังสองของ third cumulant ไม่ใช่เพียง Hermite polynomial ถัดไป
ดังนั้น Edgeworth truncation มีความหมายเฉพาะเมื่อระบุ sequence, normalization และบริเวณที่อ้างความถูกต้องแบบ asymptotic
สูตรออปชันแปลงโมเมนต์เป็น price corrections
การประเมินราคาออปชันแบบประมาณอาจอินทิเกรต payoff กับ risk-neutral density ที่แก้ไขแล้ว หรือขยายรอบ benchmark เช่น Black–Scholes
Jarrow–Rudd พัฒนา expansion รอบ distribution ที่เลือก ส่วน Corrado–Su ปรับ Gram–Charlier corrections สำหรับ skewness และ kurtosis
Cumulants ที่ fit เป็นปริมาณของ risk-neutral pricing เมื่ออนุมานจากออปชัน ไม่ใช่การคาดการณ์โดยตรงของความถี่ผลตอบแทนจริง
การจับคู่โมเมนต์ไม่ควบคุม tail
หลาย distribution มีสี่โมเมนต์แรกเหมือนกัน แต่กำหนดความน่าจะเป็นของ crash หรือ rally รุนแรงต่างกันมาก
Hermite corrections โตเร็วเมื่อออกจากจุดกึ่งกลาง ดังนั้นพจน์ที่เล็กใกล้ค่าเฉลี่ยอาจครอบงำและแกว่งใน tail
Higher sample หรือ implied moments ก็ noisy ทำให้ coefficient ไม่เสถียรและขึ้นกับช่วง strike ที่ใช้ calibrate มาก
Truncated series อาจไม่ใช่ distribution
Approximate density อาจติดลบ อินทิเกรตได้ไม่เท่ากับหนึ่ง หรือสร้าง CDF ที่ลดลงในบางส่วนของ domain
ใน option space ข้อบกพร่องอาจปรากฏเป็นราคานอก bounds หรือฝ่าฝืน strike monotonicity และ butterfly convexity
การ normalize ใหม่แก้เฉพาะมวลรวม ไม่ได้คืน positivity, forward mean หรือเงื่อนไข no-arbitrage ทุกข้อโดยตัวมันเอง
ใช้ expansion เป็น local diagnostic
ระบุ reference law, standardization, asymptotic order ที่เก็บ convention ของ cumulant และช่วง strike ก่อนตีความ coefficient
ตรวจ positivity และ normalization ของ density กู้ discounted forward และทดสอบ call-price monotonicity กับ convexity บน grid ที่กว้างขึ้น
เปรียบเทียบนอกตัวอย่างกับโมเดล positive-density หรือ direct option interpolation โดยเฉพาะก่อน extrapolate เกิน strike ที่มีสภาพคล่อง
คำถามที่พบบ่อย
ความแตกต่างหลักระหว่าง Edgeworth กับ Gram–Charlier คืออะไร
Edgeworth เรียง correction ตาม asymptotic scale ส่วน Gram–Charlier โดยพื้นฐานเป็น formal expansion ของความแตกต่างของ cumulant
เหตุใดทั้งสอง expansion ใช้ Hermite polynomials
Hermite polynomials เกิดจากอนุพันธ์ซ้ำของ normal density จึงเป็นตัวพา correction จาก cumulant ที่เป็นธรรมชาติ
สี่โมเมนต์กำหนด distribution ของราคาออปชันได้หรือไม่
ไม่ได้ Distribution ที่มีสี่โมเมนต์แรกเหมือนกันอาจมีรูปร่าง tail ต่างกัน และให้ราคาออปชันที่ strike ไกลต่างกัน
การ normalize approximate density ที่ติดลบเพียงพอหรือไม่
ไม่เพียงพอ เพราะยังอาจติดลบ มี forward mean ผิด CDF ลดลง หรือฝ่าฝืนเงื่อนไข arbitrage ของออปชัน