ทฤษฎี Cameron–Martin ในการเงิน: การเลื่อนเส้นทางที่ยอมรับได้
เรียนรู้ว่าเหตุใดการเลื่อนแบบกำหนดแน่นอนที่มีพลังงานจำกัดเท่านั้นจึงสมมูลภายใต้มาตรวัด Wiener และขอบเขตนี้ส่งผลต่อการเปลี่ยนมาตรวัดในแบบจำลองการเงินอย่างไร
คำตอบโดยตรง
ทฤษฎี Cameron–Martin กล่าวว่า มีเพียงการเลื่อนเส้นทางบางชนิดที่มีพลังงานจำกัดเท่านั้นที่รักษาความสมมูลของมาตรวัด Wiener ไว้ได้ สิ่งนี้กำหนดว่าอะไรยอมรับได้ในคณิตศาสตร์การเงิน ขณะที่การเลื่อนนอกปริภูมิ Cameron–Martin จะเอกฐานและไม่ใช่มาตรวัดสมมูลที่ใช้ได้
การแปลทำได้ง่ายในมิติจำกัด
เวกเตอร์เกาส์เซียนที่ไม่เสื่อมสภาพเมื่อถูกเลื่อนด้วยเวกเตอร์คงที่ใด ๆ ที่มีขนาดจำกัด ก็ยังมี density ที่สมมูลกับกฎเกาส์เซียนเดิม
อัตราส่วนความน่าจะเป็นเป็นนิพจน์เอ็กซ์โพเนนเชียลที่เกี่ยวข้องกับการเลื่อนและเวกเตอร์ที่สังเกตได้
มาตรวัด Wiener อยู่บนปริภูมิเส้นทางอนันต์มิติ ซึ่งการแปลเส้นทางแบบกำหนดแน่นอนไม่ได้ยังคงไม่เป็นอันตรายเสมอไป
เส้นทางพลังงานจำกัดก่อเป็นปริภูมิที่ยอมรับได้
สำหรับ Brownian motion บน [0,T] เส้นทาง Cameron–Martin h เริ่มต้นที่ศูนย์และเป็น absolutely continuous
อนุพันธ์ h′ ต้อง square-integrable ทำให้มีพลังงานจำกัด ∫₀ᵀ|h′(t)|²dt
เส้นทางเหล่านี้ก่อเป็น Hilbert space แม้ว่าเส้นทางตัวอย่าง Brownian โดยทั่วไปจะไม่ได้อยู่ในปริภูมินั้นเอง
การเลื่อนที่ยอมรับได้เปลี่ยน density ไม่ใช่เหตุการณ์ศูนย์
ถ้า h อยู่ในปริภูมิ Cameron–Martin กฎของ W และ W+h จะ absolutely continuous ต่อกันทั้งสองทิศทาง
Radon–Nikodym density ของทั้งสองมีพจน์เชิงเส้นเอ็กซ์โพเนนเชียลใน h′ เทียบกับ W และมีการปรับแก้ด้วยลบครึ่งหนึ่งของพลังงาน
ความสมมูลหมายความว่ากฎทั้งสองเห็นพ้องกันว่าเหตุการณ์ใดมีความน่าจะเป็นศูนย์ ไม่ได้หมายความว่าเหตุการณ์เหล่านั้นจะคงความน่าจะเป็นเดิม
การเลื่อนนอกปริภูมิเป็นเอกฐาน
ถ้าการแปลแบบกำหนดแน่นอนขาดพลังงานจำกัดที่จำเป็น มาตรวัด Wiener ที่ถูกเลื่อนกับมาตรวัดเดิมโดยทั่วไปจะ mutually singular
จากนั้นมาตรวัดแต่ละตัวจะกระจุกอยู่บนเซตที่อีกตัวมองว่าเป็นเซตศูนย์ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่ไม่มีสิ่งเทียบเท่าในเกาส์เซียนมิติจำกัด
ขอบเขตที่ชัดเจนนี้คือสาระสำคัญของทฤษฎี ไม่ใช่เพียงสูตรของ likelihood ratio ที่ยอมรับได้
Girsanov ขยายแนวคิดการเลื่อนเส้นทาง
Cameron–Martin จัดการกับการแปลแบบกำหนดแน่นอน ส่วน Girsanov อนุญาตให้เปลี่ยน drift แบบสุ่มที่ปรับตามข้อมูลอย่างเหมาะสม
ทั้งสองใช้ density แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและแนวคิดเรื่อง square-integrability แต่ Girsanov ยังต้องมี density martingale ที่ใช้ได้ภายใต้เงื่อนไขที่ระบุ
การเรียกการเปลี่ยน drift ทุกแบบว่า Cameron–Martin จะซ่อนความแตกต่างระหว่างการแปลเชิงเรขาคณิตคงที่กับการเปลี่ยนมาตรวัดเชิงสุ่ม
การเงินใช้เรขาคณิตเบื้องหลังทฤษฎี
การเปลี่ยน drift เป็น risk-neutral, ความไวของ likelihood ratio, importance sampling และแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยเกาส์เซียน ล้วนพึ่งพาการถ่วงน้ำหนักใหม่บนปริภูมิเส้นทางที่เกี่ยวข้องกัน
การเลื่อนที่เลือกอาจทำให้บริเวณ payoff ที่เกิดขึ้นไม่บ่อยจำลองได้ง่ายขึ้น โดย density จะปรับแก้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างที่ได้
วิธี Malliavin ยังใช้ทิศทาง Cameron–Martin เพื่อกำหนดอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ขึ้นกับเส้นทางและตัวประมาณสำหรับ Greeks
ความสมมูลไม่ได้รับประกันว่าแบบจำลองดี
ทฤษฎีนี้เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของมาตรวัดเกาส์เซียน ไม่ได้พิสูจน์ความสมบูรณ์ของตลาด การไม่มี arbitrage หรือพลวัต Brownian เชิงประจักษ์
การเลื่อนที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์อาจยังสร้างน้ำหนักการจำลองที่ไม่เสถียร หรือไม่คำนึงถึง jumps, stochastic volatility และ trading frictions
ตรวจสอบปริภูมิเส้นทาง covariance, convention ของ density, integrability และความแปรปรวนของตัวประมาณก่อนนำผลลัพธ์ไปใช้เชิงคำนวณ
คำถามที่พบบ่อย
ปริภูมิ Cameron–Martin คืออะไร?
สำหรับ Brownian motion ปริภูมินี้คือ Hilbert space ของเส้นทางที่เริ่มต้นที่ศูนย์ เป็น absolutely continuous และมีอนุพันธ์ที่ square-integrable
เส้นทาง Brownian เป็นเส้นทาง Cameron–Martin หรือไม่?
แทบจะไม่ใช่ เส้นทาง Brownian โดยทั่วไปไม่สม่ำเสมอเกินไป แม้เส้นทาง Cameron–Martin จะอธิบายทิศทางการเลื่อนที่ยอมรับได้
Cameron–Martin ต่างจาก Girsanov อย่างไร?
Cameron–Martin เลื่อนด้วยเส้นทางพลังงานจำกัดแบบกำหนดแน่นอน ส่วน Girsanov อนุญาตให้เปลี่ยน drift แบบสุ่มที่ปรับตามข้อมูลเมื่อเงื่อนไขของ density เป็นจริง
เหตุใดทฤษฎีนี้จึงเกี่ยวข้องกับการเงิน?
ทฤษฎีนี้ให้รากฐานเชิงเรขาคณิตสำหรับการถ่วงน้ำหนักเส้นทางเกาส์เซียนใหม่ การวิเคราะห์ความไว importance sampling และสัญชาตญาณเรื่องการเปลี่ยนมาตรวัด