อธิบาย Affine Processes และสมการ Riccati

สำหรับสถานะ Markov X แบบจำลอง affine ต้องการ E[e^{u·X_T}|X_t=x] = exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x) โดย τ=T−t

คำว่า affine หมายถึงลอการิทึมของ transform แบบมีเงื่อนไขนี้เป็นค่าคงที่บวกฟังก์ชันเชิงเส้นของสถานะปัจจุบัน

เส้นทางยังอาจไม่เป็นเชิงเส้น มีความแปรปรวนไม่คงที่ และไม่ต่อเนื่องได้ ความแปรปรวนแบบรากที่สองและความเข้มข้นของ jump ต่างก็อยู่ในกลุ่มนี้ได้

สถานะ canonical ที่พบบ่อยมักรวมพิกัดที่ไม่เป็นลบ เช่น ความแปรปรวนหรือความเข้มข้น เข้ากับพิกัดจำนวนจริงอิสระ เช่น log price

Drift diffusion และมาตรวัด jump ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข admissibility เพื่อให้กระบวนการอยู่ในปริภูมิสถานะและกำหนดกฎ Markov ที่ใช้ได้

สูตรที่ดูเป็น affine ยังไม่เพียงพอ ความแปรปรวนติดลบ กิจกรรม jump ที่ระเบิด หรือเงื่อนไขการมีอยู่ที่ไม่ผ่าน อาจทำให้ specification ใช้ไม่ได้

Transform สามารถเข้ารหัสฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ Laplace transforms โมเมนต์ ราคาพันธบัตร และองค์ประกอบของ payoff ที่คิดลดแล้ว

แทนที่จะกู้คืน transition density ทั้งหมด เราประเมิน φ และ ψ ที่อาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนซึ่งสูตรการกำหนดราคาต้องใช้

การแยกนี้ทรงพลัง แบบจำลองสโตแคสติกให้ transform ขณะที่การอินเวอร์สหรือ transform ของ payoff แปลงมันเป็นราคา

เมื่อแทน ansatz แบบเอ็กซ์โพเนนเชียล affine ในสมการของ generator พจน์ค่าคงที่จะถูกรวมไว้ใน φ และพจน์เชิงเส้นตามสถานะจะถูกรวมไว้ใน ψ

ผลลัพธ์คือระบบคู่เชื่อมโยง เช่น ∂τφ = F(ψ) และ ∂τψ = R(ψ) โดยมีเงื่อนไขตั้งต้น φ(0,u)=0 และ ψ(0,u)=u

พจน์ diffusion ทำให้ R เป็นกำลังสอง ขณะที่ jump เพิ่มอินทิกรัลของ transform จึงเรียกสมการเหล่านี้ว่าสมการ Riccati ทั่วไป

CIR ใช้สถานะแบบรากที่สองที่ไม่เป็นลบ ขณะที่ Heston เชื่อม log price เข้ากับความแปรปรวนแบบรากที่สอง และรักษา transform ร่วมแบบ affine

แบบจำลองโครงสร้างอัตราดอกเบี้ยและเครดิตแบบ affine สามารถทำให้อัตราระยะสั้น ความเข้มข้นของการผิดนัด หรือ compensator ของ jump เป็นฟังก์ชัน affine ของสถานะ

สถาปัตยกรรม transform ที่เหมือนกันไม่ได้ทำให้แบบจำลองเทียบเท่ากัน แต่ละแบบมีข้อจำกัดของสถานะ พฤติกรรมหางการแจกแจง และความหมายทางเศรษฐกิจต่างกัน

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะมีอยู่สำหรับความถี่จริง แต่ exponential moments ที่อาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนอาจมีอยู่ในโดเมนจำกัดเท่านั้น

คำตอบของ Riccati อาจระเบิดที่ระยะเวลาจำกัด ซึ่งเป็นสัญญาณว่าโมเมนต์ล้มเหลว ไม่จำเป็นต้องหมายถึงกระบวนการความน่าจะเป็นพื้นฐานสิ้นสุดลง

นิพจน์รูปปิดยังต้องใช้สาขาของรากที่สองและลอการิทึมอย่างสอดคล้องกัน รูปที่เท่ากันทางพีชคณิตอาจมีพฤติกรรมต่างกันเมื่อคำนวณด้วย floating point

ตรวจสอบค่าเริ่มต้น ความสัมพันธ์ semigroup สมมาตรแบบ conjugate เงื่อนไข martingale และกรณีขีดจำกัดที่รู้จักก่อนกำหนดราคาออปชัน

ติดตามตัวแก้ Riccati โดเมนของ transform ความต่อเนื่องของสาขา และความไวต่อ tolerance บนตารางอายุและพารามิเตอร์

ความสามารถในการคำนวณของ affine ลดปัญหายากหนึ่งปัญหาให้เป็นปัญหาเล็กลง แต่ไม่ได้ขจัดความเสี่ยงจากการ calibration ความคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลข หรือการกำหนดแบบจำลองผิด