Исчисление Стратоновича и Ито: сравнение
Узнайте, чем отличаются стохастические интегралы Стратоновича и Ито, как преобразуются их drift-члены и почему финансовые модели должны явно указывать конвенцию
Короткий ответ
Исчисления Ито и Стратоновича описывают одну и ту же корректно преобразованную стохастическую динамику, но вычисляют шумные подынтегральные функции в разных точках каждого интервала. Преобразование добавляет drift-член квадратичной вариации, поэтому уравнение неполно, пока не названа конвенция интегрирования
Точка выборки меняет интеграл
Интеграл Ито использует информацию в левой конечной точке каждого временного интервала. Это делает подынтегральную функцию предсказуемой и при стандартных предположениях придает интегралу свойство мартингала
Интеграл Стратоновича использует предел в стиле средней точки. Для гладких замен координат он ближе следует обычному правилу цепочки
Ни одна запись автоматически не реалистичнее другой. Подходящая конвенция определяется предельной процедурой моделирования, потоком информации и описываемой величиной
Преобразование конвенций меняет drift
Для одномерной диффузии уравнение dX = a(X)dt + b(X)∘dW в форме Стратоновича превращается в форму Ито dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dW
Дополнительный член не является произвольной поправкой. Он возникает из квадратичной ковариации между зависящим от состояния подынтегральным множителем и Броуновским движением
Когда b постоянно, b' равно нулю, и две формы совпадают. При зависящей от состояния волатильности молчаливое смешение становится дорогостоящим
Пример мультипликативного шума показывает разницу
Пусть b(X) = σX, а drift Стратоновича равен нулю. Эквивалентный drift Ито равен 1/2σ²X
При σ = 40% эта поправка составляет 8% от X в год до учета отдельно заданного экономического drift
Это число является сменой представления, а не ожидаемой доходностью акции или торгуемой альфой. Финансовая модель по-прежнему должна указать меру, перенос, дивиденды и ограничения [!TRYMARK] Храните конвенцию вместе со сценарием В дату или контрольную точку отчетности запишите вход акции, предположение об IV, целевой результат и то, использует ли модель динамику Ито или Стратоновича. Скопированный drift без конвенции может изменить результат Path до движения рынка
В моделях оценки обычно указывают динамику Ито
Модели оценки активов в непрерывном времени часто используют процессы Ито, потому что самофинансируемые торговые стратегии адаптированы к информации, доступной до следующего шока
Лемма Ито, мартингальные меры и стандартный вывод Блэка—Шоулза записываются в этой конвенции
Физические модели, выведенные из пределов цветного шума, естественно могут давать уравнения Стратоновича. Преобразуйте их до объединения с оценкой или хеджированием в конвенции Ито
Преобразование не устраняет модельный риск
Уравнение может быть правильно преобразовано и все же не учитывать скачки, стохастическую волатильность, ликвидность, дискретное хеджирование или неверно заданные параметры
Многомерные системы требуют полного якобиана и структуры ковариаций, а не скалярного сокращения half-times-b-times-b-prime
Всегда указывайте SDE, конвенцию интегрирования, вероятностную меру, единицу времени и интерпретацию шума до сравнения результатов
Частые вопросы
Исчисление Стратоновича правильнее исчисления Ито?
Нет. При правильном преобразовании это эквивалентные описания. Выбор зависит от происхождения стохастической модели и ее применения
Почему drift меняется при преобразовании?
Подынтегральная функция может двигаться вместе с Броуновским движением, если зависит от состояния. Их квадратичная ковариация сохраняется как конечная поправка drift
Можно ли применять обычное правило цепочки к процессу Ито?
Не напрямую. Лемма Ито добавляет член второго порядка из квадратичной вариации. Запись Стратоновича возвращает обычное на вид правило только со своей конвенцией