Квадратичная вариация в финансах: объяснение

Для разбиения π отрезка [0,t] образуйте Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² и уменьшайте размер сетки до нуля

Когда эти суммы сходятся в соответствующем вероятностном смысле, их пределом является квадратичная вариация [X]_t

Это понятие накопления вдоль траектории, а не то же самое, что статистическая дисперсия X_t по повторным исходам

Непрерывная траектория конечной полной вариации имеет нулевую квадратичную вариацию, потому что ее малые квадраты приращений исчезают быстрее, чем сумма абсолютных приращений

Поэтому обычные дифференцируемые кривые цены не создают поправку второго порядка в классическом правиле цепочки

Квадратичная вариация выделяет шероховатость, которая остается видимой после того, как движения первого порядка по отдельности становятся ничтожными

Стандартное броуновское движение имеет бесконечную полную вариацию на любом нетривиальном интервале, но удовлетворяет [W]_t = t

Интуитивно, примерно 1/Δt приращений имеют квадратичный размер около Δt, поэтому их сумма остается порядка единицы

Это утверждение о пределе, а не поточечная алгебраическая формула dW/dt или утверждение, что каждый квадрат приращения равен dt

Квадратичная ковариация [X,Y] суммирует произведения ΔX·ΔY по мелким разбиениям

Поляризация дает [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]), связывая совместную вариацию с отдельными квадратичными вариациями

Для коррелированных броуновских источников ковариация переносит мгновенную зависимость в портфель и многомерные формулы Ито

Для dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t непрерывная квадратичная вариация равна [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds

Разложение Тейлора сохраняет 1/2 f''(X_t)d[X]_t, потому что квадраты стохастических приращений накапливаются, а не исчезают

Эта поправка порождает уравнения оценки диффузий и отличает стохастическое исчисление от обычного дифференциального

Для полумартингала со скачками квадратичная вариация включает непрерывную мартингальную вариацию и Σ_{s≤t}(ΔX_s)²

Поэтому крупный скачок может доминировать дневное реализованное квадратичное движение, даже если непрерывная волатильность была умеренной

Если экономический вопрос зависит от разных источников, разделяйте непрерывную вариацию, скачки и дрейф конечной вариации

Реализованная дисперсия на высокой частоте суммирует квадраты наблюдаемых внутридневных доходностей, чтобы приблизить скрытую квадратичную вариацию

Слишком редкая выборка пропускает движение, а слишком частая усиливает отскок bid—ask, дискретность цены, несинхронные котировки и ошибочные тики

Сравнивайте сетки выборки, явно очищайте скачки, выравнивайте часы торговли и различайте определение доходности, прежде чем называть оценку волатильностью