Лемма Ито в оценке опционов: объяснение

Для гладкой детерминированной траектории x(t) изменение f(t, x) локально описывается производной по времени и первой производной по x

Траектория диффузии непрерывна, но в обычном смысле нигде не имеет гладкой производной. Ее случайное приращение на коротком интервале масштабируется как квадратный корень из времени

Из-за этого масштабирования член разложения Тейлора второго порядка имеет тот же порядок, что и обычный временной член. Его отбрасывание удаляет эффект, который позже появляется как гамма в оценке опциона

Обозначим приращение Броуновского движения через dW. В исчислении Ито dW² дает вклад dt, а dt² и dt·dW исчезают в рассматриваемом порядке

Это сокращенная запись предела по траектории: сумма квадратов приращений Броуновского движения стремится к прошедшему времени при измельчении разбиения

Это не обычная алгебра, утверждающая, что каждый случайный шок в квадрате равен времени. Правило относится к стохастическому интегрированию и его предельной конвенции

Пусть dS = μSdt + σSdW, а стоимость опциона равна V(t, S). Лемма Ито дает ее локальное стохастическое изменение

Drift равен Vₜ + μS Vₛ + one-half σ²S²Vₛₛ. Случайный член — σS VₛdW, где нижние индексы обозначают частные производные

Дельта Vₛ умножает шок первого порядка, а гамма Vₛₛ входит в drift временного порядка через квадратичную вариацию

Даже когда случайный ценовой шок имеет нулевое условное среднее, выпуклость заставляет положительные и отрицательные движения по-разному влиять на стоимость опциона

Член one-half σ²S²Gamma измеряет этот локальный вклад кривизны. Более высокая волатильность увеличивает скорость накопления модельной стоимости у выпуклой выплаты

Это не означает, что длинная гамма гарантированно приносит прибыль. Фактический P&L определяют тета, уплаченная премия, реализованные траектории, скачки, изменения skew и издержки

Объединим один опцион с минус его дельтой в базовом активе. В рамках предположений о диффузии члены dW мгновенно сокращаются

Оставшийся локальный портфель в модели безрисков, поэтому отсутствие арбитража требует, чтобы после согласованного учета дивидендов или переноса он приносил безрисковую ставку

Подстановка этого условия убирает μ и приводит к дифференциальному уравнению Блэка—Шоулза. Ценовое отношение задает репликация, а не прогноз доходности

Для нескольких коррелированных диффузий разложение включает смешанные вторые производные, взвешенные ковариацией. Эти члены связывают корреляцию с совместной кривизной

Изменение процесса состояния меняет генератор и уравнение оценки. Локальная волатильность, стохастическая волатильность и модели ставок используют родственные разложения Ито

Для функций, недостаточно гладких для этого, границы и изломы требуют слабого, обобщенного или численного подхода, а не небрежного дифференцирования

Процесс со скачками нельзя описать только непрерывным правилом Броуновского движения. Его формула изменения включает дискретные скачковые вклады и часто приводит к интегро-дифференциальному уравнению

Реальные хеджи дискретны и затратны, поэтому сокращение бесконечно малого члена dW не устраняет риск гэпа, ликвидности, параметров или исполнения

Используйте лемму Ито для понимания механики модели, а затем до интерпретации цены или грека явно укажите процесс, гладкость, меру и торговые предположения