Теорема Гирсанова в оценке опционов: объяснение

По физической мере P акция может следовать dS/S = μdt + σdWᴾ, где μ обозначает модельную ожидаемую доходность

Этот дрейф важен для прогнозирования и выбора портфеля, но в полной диффузионной модели стоимость опциона без арбитража не должна зависеть от произвольной оценки μ

Переход от физических вероятностей к оценочным требует не просто заменить один символ другим. Нужна корректная трансформация меры

Производная Радона—Никодима определяет, как новая мера взвешивает события относительно старой до каждого момента времени

Для броуновских моделей эту плотность обычно записывают как стохастическую экспоненту, построенную из процесса, который часто обозначают λ

Плотность должна оставаться положительной и иметь ожидание один. Иначе предложенное выражение может не задавать эквивалентную вероятностную меру

При корректной плотности Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt становится броуновским движением по новой мере Q при одном распространённом соглашении о знаке

Подставляя dWᴾ = dWᵠ − λdt, мы сдвигаем дрейф каждого процесса, подверженного этому броуновскому шоку

Коэффициент волатильности при dW не исчезает. Эквивалентные изменения диффузионной меры меняют дрейф, но не мгновенную ковариационную структуру

Для акции без дивидендов выберите λ так, чтобы дрейф по Q стал равен краткосрочной ставке r. При дивидендной доходности q бездивидендный дрейф обычно равен r − q

Тогда дисконтированный актив с полной доходностью является Q-мартингалом, а реплицируемую выплату можно оценить по её дисконтированному Q-ожиданию

Это не означает, что акция действительно приносит r в реальном мире. Это утверждение о том, как её дрейф выглядит по выбранной оценочной мере

В простом случае с постоянными коэффициентами λ = (μ − r) / σ при указанном соглашении о знаке и без дивидендов

При нескольких источниках риска вектор цен риска сдвигает дрейф через матрицу нагрузок волатильности. Если экспозиции не имеют полного ранга, не каждый желаемый дрейф достижим

В неполных рынках компоненты цены риска могут оставаться неопределёнными по торгуемым активам, создавая несколько допустимых мартингальных мер

Условия Новикова, Казамаки или близкие к ним часто используют, чтобы стохастическая экспонента была настоящим мартингалом, а не только локальным мартингалом

Эквивалентность также сохраняет события с нулевой вероятностью. Трансформация не может сделать действительно невозможный путь возможным и при этом остаться эквивалентной

Взрывающиеся коэффициенты, строгие локальные мартингалы, бесконечные горизонты или слабая регулярность могут сделать небрежное применение формулы неверным

Для процессов со скачками изменение меры может менять интенсивность скачков и распределение их размеров наряду с непрерывным дрейфом

Калиброванные оценочные модели задают риск-нейтральные параметры напрямую, но связь с физическими оценками всё равно требует модели премии за риск

Перед интерпретацией преобразованной динамики назовите исходную меру, целевую меру, плотность, соглашение о знаке, нумерар, горизонт и условия