Условия Новикова и Казамаки: объяснение

Для непрерывного локального мартингала M его стохастическая экспонента равна Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)

Z — положительный локальный мартингал и потому супермартингал, поэтому E[Z_t] может упасть ниже начального значения один

Если масса потеряна, Z_T нельзя использовать как плотность вероятности без изменения задуманной конструкции

Плотность на конечном горизонте требует Z_T ≥ 0 и E[Z_T] = 1, а процесс плотности задается условными математическими ожиданиями

Равномерная интегрируемость контролирует семейство на всем горизонте и поддерживает согласованные изменения меры в моменты остановки

Запись экспоненциального выражения сама по себе не доказывает, что оно нормируется к единице или задает эквивалентную меру

Распространенный критерий Новикова имеет вид E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞ для фиксированного конечного горизонта T

Для M = ∫θ_s dW_s скобка равна ∫₀ᵀθ_s²ds, поэтому проверяется экспоненциальная интегрируемость накопленного квадрата сдвига дрейфа

Критерий удобен, потому что использует квадратичную вариацию, но может быть сильнее необходимого

Критерии типа Казамаки контролируют exp(M/2), обычно через условие субмартингала или равномерной интегрируемости на моментах остановки

Они могут установить свойство настоящего мартингала в случаях, когда экспоненциальный момент скобки Новикова бесконечен

Точные формулировки зависят от горизонта и версии теоремы, поэтому цитируемый критерий и знаковое соглашение нужно указывать явно

Оба условия — достаточные проверки, а не определения и, вообще говоря, не необходимые условия

Если Новиков не выполняется, могут сработать Казамаки, ограниченная средняя колеблемость, прямые расчеты математического ожидания или аргументы для конкретной модели

Если все удобные тесты провалились, нельзя просто предположить мартингальность; поведение строгого локального мартингала все еще возможно

Изменение дрейфа по Гирсанову и риск-нейтральные плотности часто используют стохастическую экспоненту, построенную из цены риска

Если плотность задает строгий локальный, а не настоящий мартингал, предложенная мера оценки может быть дефектной или несогласованной на разных горизонтах

Та же проблема возникает в оценках отношения правдоподобия, фильтрации, двойственности полезности и моделях с поведением, похожим на пузырь

Условие, верное для каждого конечного T, не обязано давать равномерную интегрируемость на бесконечном горизонте

Локализация доказывает локальные тождества, но сама по себе не возвращает потерянное математическое ожидание при переходе к пределу

Экспоненты со скачками требуют учитывающих скачки условий положительности и интегрируемости; непрерывную формулу Новикова нельзя копировать без изменений