Стохастическая экспонента и экспонента Долеана—Дейда: объяснение

Для полумартингала X, начинающегося с нуля, экспонента Долеана—Дейда Z = 𝓔(X) единственным образом решает Z_t = 1 + ∫_0^t Z_{s-}dX_s

Левый предел Z_{s-} важен: скачок ΔX_s мгновенно меняет богатство мультипликативно, на множитель 1 + ΔX_s

Это определение фундаментальнее запоминания замкнутой формулы и остается осмысленным для непрерывных процессов и процессов со скачками

Для непрерывного полумартингала 𝓔(X)_t = exp(X_t - X_0 - 1/2[X]^c_t), если соответствующие члены конечной вариации включены в X

Если X — непрерывный локальный мартингал M, привычная форма имеет вид exp(M_t - 1/2⟨M⟩_t)

Вычитание компенсирует член второго порядка Ито и дает d𝓔(M)_t = 𝓔(M)_t dM_t вместо нежелательного дрейфа

Для общего X умножьте непрерывную экспоненту на ∏_{s≤t}(1 + ΔX_s)e^{-ΔX_s}

Каждый множитель заменяет аддитивный экспоненциальный отклик e^{ΔX} требуемым множителем богатства 1 + ΔX

Бесконечное произведение требует регулярности полумартингала; оно не разрешает просто перемножать сырые высокочастотные доходности без контроля сходимости

Если каждое ΔX > -1, стохастическая экспонента остается строго положительной, когда начинается с положительного значения

Скачок ровно -1 отправляет ее в ноль, а скачок ниже -1 может изменить знак и разрушить использование экспоненты как положительной плотности или стоимости актива

Это условие имеет прямой финансовый смысл: пропорциональный убыток за один шаг не может превышать 100% в модели цены с ограниченной ответственностью

Когда M — локальный мартингал с подходящими скачками, 𝓔(M) обычно является локальным мартингалом и супермартингалом, если неотрицательна

Чтобы задать изменение вероятности на фиксированном горизонте, она должна быть истинным мартингалом с E[𝓔(M)_T] = 1

Критерии Новикова, Каца—Казамаки, ограниченность или специальные условия для скачков могут быть достаточными, но одной экспоненциальной формы мало

В теории Гирсанова допустимая стохастическая экспонента служит плотностью Радона—Никодима, перевзвешивающей траектории и меняющей дрейф

В модели доходности dS_t/S_{t-} = dX_t решением является S_t = S_0𝓔(X)_t, так что сложный рост встроен в динамику

Для плотности и цены нужны разные проверки нормировки, интегрируемости и допустимости, даже когда алгебра совпадает

Проверьте границы скачков, конечное ожидание, равномерную интегрируемость, дискретизацию и является ли выбранная экспонента локальным или истинным мартингалом

Наивные обновления Эйлера могут создавать отрицательные значения или искажать произведения; схемы, сохраняющие точную экспоненциальную структуру, часто безопаснее

Симуляция может пропустить редкие траектории, вызывающие потерю ожидания, поэтому объединяйте исследования усечения, аналитические критерии, тесты границ и выборочные средние