Производная Радона—Никодима в финансах: объяснение

Мера Q абсолютно непрерывна относительно P, что записывают Q ≪ P, если каждое P-нулевое событие является также Q-нулевым

Тогда теорема Радона—Никодима дает неотрицательную плотность Z = dQ/dP, единственную с точностью до P-нулевых множеств

Если P и Q эквивалентны, каждая мера абсолютно непрерывна относительно другой, и они согласны в том, какие события невозможны

Для любого события A выполняется Q(A) = E_P[Z 1_A]. Для вероятностных мер E_P[Z] = 1

Значения Z больше единицы увеличивают относительный вес исхода при Q, а значения меньше единицы уменьшают его

Z — не производная по времени или цене. Это плотность одной меры относительно другой

Для интегрируемой выплаты X выполняется E_Q[X] = E_P[ZX] при соблюдении необходимых условий интегрируемости

Это тождество меняет веса, а не выплату или пространство исходов. Один и тот же исход X усредняется по-разному

Если меры эквивалентны и Z положительна, то Q-почти наверное dP/dQ = 1/Z; преобразования плотности также подчиняются правилу цепочки

В модели с конечным числом состояний Z_s = q_s/p_s при положительном p_s, поэтому q_s = p_s Z_s

Та же логика используется в важностной выборке: выборка берется из одного распределения, а среднее исправляется отношением правдоподобия

Сильно меняющиеся плотности концентрируют вес на немногих состояниях и могут создавать нестабильные оценки Монте—Карло, даже когда тождество точно

Имея конечную плотность Z_T, определите Z_t = E_P[Z_T | F_t]. Этот процесс является неотрицательным P-мартингалом

При положительном Z_t условные ожидания удовлетворяют E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t

Фильтрация важна, потому что Z_t фиксирует ту часть конечного перевзвешивания, которая видна в информации, доступной в момент t

Модели оценки активов ищут эквивалентную меру Q, при которой корректно дисконтированные цены торгуемых активов являются мартингалами или локальными мартингалами

Теорема Гирсанова описывает, как плотность меняет броуновский дрейф, сохраняя диффузионную неопределенность и нулевые события

При нумераторе в виде счета денежного рынка стохастический дисконтирующий множитель при подходящих предположениях можно записать как дисконтирование, умноженное на dQ/dP

Риск-нейтральная Q — это ценовая мера, а не обязательно прогноз частот событий реального мира при P

Предлагаемая плотность должна быть неотрицательной, интегрироваться в единицу, уважать фильтрацию и превращать нужные дисконтированные активы в мартингалы

Перед использованием преобразованных ожиданий сообщите исходную и целевую меры, нумератор, горизонт, соглашение о плотности, интегрируемость и численные диагностики