Принцип максимальной энтропии в финансах

Для дискретных вероятностей p_i энтропия Шеннона равна H(p)=−Σ_i p_i log p_i

Максимальная энтропия максимизирует H при p_i≥0, Σ_i p_i=1 и ограничениях вроде Σ_i p_i f_j(x_i)=c_j

Результат не добавляет подогнанную структуру сверх той, которую вынуждают носитель, базовое представление и объявленные ограничения

При опорной мере m и линейных ограничениях на математические ожидания решение обычно имеет вид p_θ(x)=m(x)exp[Σ_jθ_jf_j(x)−ψ(θ)]

Логарифм нормировки ψ делает общую вероятность единицей, а его градиент согласует математические ожидания модели с ограничениями

Гессиан ψ — матрица ковариаций, связывающая двойственную кривизну с идентифицируемостью и численной обусловленностью

Дифференциальная энтропия меняется при нелинейной смене координат и не является инвариантным количеством недостающей информации

Минимизация относительной энтропии KL(p||m) относительно явного априорного или базового закона делает эту зависимость видимой

Изменение переменной состояния, носителя, сетки или опорной меры m может изменить ответ, даже если основные ограничения выглядят одинаково

Дисконтированные цены европейских опционов — это риск-нейтральные математические ожидания функций выплаты и потому могут ограничивать конечное распределение

Нормировка и форвардное мартингальное условие должны сопровождать ограничения по страйкам, дисконтирование, дивиденды и соглашения о контракте

Бухен и Келли используют максимальную энтропию для восстановления распределения актива по ценам опционов; минимальная перекрестная энтропия позволяет учесть априорный закон

Шумные mid-цены могут нарушать границы цены, монотонность по страйку или выпуклость, так что не остается неотрицательного распределения, точно соответствующего каждой котировке

Полосы bid—ask, взвешенная подгонка или slack-переменные могут восстановить выполнимость, но каждый выбор меняет информацию, навязанную решению

Ограничения около границы выполнимой области могут концентрировать массу, отправлять двойственные множители наружу и плохо обусловливать оптимизацию

Максимальная энтропия выбирает одно распределение из недоопределенного множества, но не доказывает, что рынок следует ему

Разреженные страйки слабо определяют форму хвоста, и энтропия может распределять массу по опорной мере, а не по экономическим свидетельствам

Добавление множества шумных ограничений может переобучить котировки, а слишком малое их число — скрыть структуру улыбки и занизить неопределенность между страйками

Проверьте положительность, нормировку, форвардное среднее, каждое условие bid—ask и свойства статического отсутствия арбитража на плотной сетке страйков

Возмущайте котировки, сетки, концы носителя, априорные законы, веса ограничений и допуски решателя, чтобы выявить нестабильные выводы о хвосте

Сравнивайте вневыборочные цены опционов и сообщайте выбор энтропии, двойственные невязки, активные ограничения и неопределенность, а не только одну подразумеваемую плотность