Локальные и строгие локальные мартингалы: объяснение

Адаптированный процесс M является локальным мартингалом, если моменты остановки τ_n возрастают до бесконечности почти наверное, а каждый остановленный процесс M_{t∧τ_n} является мартингалом

Остановки могут ограничивать выбросы или интегралы, чтобы условные ожидания были хорошо определены в каждой локализованной области

Локализация — это доказательный прием для расширяющихся безопасных областей; она не означает, что процесс лишь приблизительно мартингален на коротких календарных горизонтах

Каждый истинный мартингал является локальным, поскольку при соответствующем определении можно использовать тривиальные или ограничивающие моменты остановки

Обратное требует условий вроде равномерной интегрируемости или подходящего доминирования, позволяющих переносить пределы через условные ожидания

Без такого контроля масса может уходить через все более редкие экстремальные траектории, когда локализующие барьеры отодвигаются

Неотрицательный локальный мартингал является супермартингалом по аргументам типа Фату, поэтому E[M_t] ≤ E[M_s] для s ≤ t

Он является истинным мартингалом, когда ожидание сохраняется при подходящей интегрируемости; строгий локальный мартингал имеет настоящую потерю ожидания

Нулевой локальный дрейф сам по себе поэтому не означает постоянства безусловного ожидания

Стохастические экспоненты являются положительными локальными мартингалами и естественными кандидатами на процессы плотности при изменении меры

Условия Новикова или Каца—Казамаки могут установить свойство истинного мартингала, но это достаточные тесты, а не взаимозаменяемые определения

Если кандидат строг, его конечное ожидание меньше единицы, и он не может без дополнительной обработки определить предполагаемую эквивалентную вероятностную меру

В некоторых определениях оценки активов дисконтированный неотрицательный строгий локальный мартингал имеет рыночную цену выше меньшего фундаментального ожидания

Недостающее ожидание, часто называемое дефектом мартингала, измеряет эту зависящую от модели разницу

Это утверждение относится к заданным мере, фильтрации, классу допустимости и правилу оценки и не является автоматическим свидетельством неправильной рыночной цены

Стандартный put—call паритет и монотонность цены call по сроку часто используют истинную мартингальность дисконтированного базового актива

При строгих локальных мартингалах паритет может получить член дефекта, а естественные на вид цены call могут зависеть от соглашений о залоге или допустимости

Всегда выводите тождества из ожидания модели и торговых предположений, а не переносите формулы отсутствия арбитража без изменений

Аналитически или численно проверьте сохранение ожидания, поведение границ, взрыв, равномерную интегрируемость и допустимость каждого процесса плотности

Монте—Карло может пропустить редкие траектории, отвечающие за потерю ожидания, поэтому устойчивое выборочное среднее слабо подтверждает мартингальность

Используйте вместе граничные условия PDE, асимптотику, критерии строгости, исследования усечения и оценки дефекта мартингала