Собственные значения, собственные векторы и факторы финансового риска
Разберитесь в собственных значениях, собственных векторах, спектральном разложении ковариации, концентрации риска, эффективной размерности и нестабильности из-за ошибки выборки
Короткий ответ
Собственный вектор — это направление, сохраняемое линейным преобразованием, а его собственное значение — масштаб, применяемый вдоль этого направления. Для ковариационной матрицы доходностей собственные векторы представляют направления совместного движения, а собственные значения измеряют дисперсию вдоль этих направлений. Если несколько крупных собственных значений содержат большую часть общей дисперсии, портфель может иметь много позиций, но его риск всё равно будет сконцентрирован на нескольких общих осях. Собственные векторы, соответствующие близким собственным значениям, могут быть крайне чувствительны к выборке, поэтому следует оценивать подпространства, объяснённую дисперсию и устойчивость вне выборки, а не давать отдельным осям слишком конкретные названия
Некоторые направления переживают преобразование
Матрица обычно меняет и длину, и направление вектора. Собственный вектор — особое направление, которое после преобразования остаётся на той же прямой
Его собственное значение показывает, во сколько раз масштабируется направление. Отрицательное значение также меняет ориентацию, хотя собственные значения ковариации не могут быть отрицательными
Длина собственного вектора произвольна, поэтому его обычно нормируют до единицы. Вектор и его отрицание задают одну и ту же ось
Ковариационная матрица хранит совместное движение
Диагональные элементы — индивидуальные дисперсии активов, а внедиагональные — ковариации, описывающие попарное совместное движение
Ковариационная матрица симметрична и неотрицательно определена, поэтому допускает вещественные собственные значения и ортогональный набор собственных векторов
Выборочная ковариация оценивается по наблюдениям. Поэтому её собственные значения и векторы несут ошибку выборки, а не являются фиксированными фактами
Собственное значение — это дисперсия вдоль направления
Спроецируйте доходности на единичный собственный вектор ковариации, и выборочная дисперсия полученной доходности будет равна соответствующему собственному значению
Сумма всех собственных значений равна следу матрицы, который также равен сумме индивидуальных дисперсий переменных
Деление одного собственного значения на эту сумму даёт его долю объяснённой дисперсии. Ранжирование значений упорядочивает подогнанные направления риска по размеру
Ортогональное разложение восстанавливает риск
Спектральное разложение выражает ковариацию как сумму направлений собственных векторов, взвешенных их собственными значениями
Поскольку эти оси некоррелированы, дисперсия портфеля раскладывается на квадрат экспозиции к каждой оси, умноженный на собственное значение оси
Это смена координат. Некоррелированные подогнанные оси не доказывают независимость исходных экономических шоков
Близкие собственные значения делают направления нестабильными
Когда собственные значения близки, небольшое изменение данных может существенно повернуть соответствующие собственные векторы
Если собственные значения точно равны, любой ортогональный базис внутри общего подпространства даёт ту же ковариацию. Отдельные векторы не уникальны
Выравнивание знаков, углы между векторами, расстояние между подпространствами и результаты бутстрэпа дают лучшие проверки стабильности, чем одно визуальное сравнение
Крупные собственные значения показывают концентрацию риска
Доминирующее первое собственное значение означает, что многие активы разделяют одно сильное направление, поэтому эффективная диверсификация может отставать от номинального числа позиций
Эффективная размерность показывает, насколько равномерно дисперсия распределена по собственным значениям. Портфели с одинаковым числом активов могут иметь разные размерности
Корреляции могут расти в стрессе и увеличивать долю ведущего направления. Оценка ковариации спокойного периода может завышать диверсификацию в кризисе
Осторожно связывайте PCA и факторный риск
Нагрузки PCA — собственные векторы матрицы ковариации или корреляции, а объяснённая дисперсия берётся из соответствующих собственных значений
Несколько крупных собственных значений могут поддерживать приближённую статистическую факторную структуру, но не идентифицируют экономический источник этих факторов
Факторные модели задают общую структуру и остатки, а спектральное разложение описывает геометрию ковариации. Их применения пересекаются, но предпосылки различаются
Раскрывайте оценивание и неопределённость
Сообщайте определение доходности, частоту, окно, пропуски, выбросы, выбор масштабирования и оцениватель ковариации
Показывайте полный спектр собственных значений, накопленные доли, ведущие векторы и правило выравнивания знаков, не приписывая осям больше смысла, чем поддерживают данные
Сравнивайте скользящие окна, сжатую ковариацию и прогнозы риска вне выборки. Чёткий график спектра не устраняет ошибку оценки
Частые вопросы
Почему собственные значения ковариации неотрицательны?
Дисперсия не может быть отрицательной ни в одном направлении портфеля, поэтому ковариационная матрица неотрицательно определена
Самый крупный собственный вектор всегда является рыночным фактором?
Он может на него походить, но такая идентичность требует проверки состава, дизайна выборки и внешней рыночной доходности
Как интерпретировать знак собственного вектора?
Вектор и его отрицание задают одну ось. Перед сравнением выравнивайте знаки по эталонному активу или предыдущему окну
Направление с малым собственным значением неважно?
Не обязательно. Оно может быть значимо для ограничений хеджа, отношений относительной стоимости или прогнозирования, несмотря на малую текущую дисперсию