Метод главных компонент (PCA): объяснение
Узнайте о центрировании, масштабировании, ковариации, оценках и нагрузках компонентов, объяснённой дисперсии, выборе компонентов и ограничениях PCA в финансах
Короткий ответ
Метод главных компонент (PCA) преобразует коррелированные переменные в меньший набор ортогональных осей, сохраняющих как можно большую долю выборочной дисперсии. Первая компонента охватывает наибольшую дисперсию, а каждая следующая — наибольшую оставшуюся дисперсию при ортогональности к предыдущим осям. PCA может суммировать риск и создавать предикторы, но автоматически не обнаруживает экономические факторы. Результаты зависят от единиц, дат выборки, оценки ковариации и выбора компонент, поэтому оценки, нагрузки, объяснённая дисперсия и устойчивость вне выборки должны анализироваться вместе
Поместите данные на осмысленную исходную основу
PCA применяют к центрированным данным после вычитания среднего каждой переменной по выборке. Иначе средние уровни могут доминировать над тем, что должно быть направлением вариации
Выберите содержательные преобразования до расчёта. Общий тренд в нестационарных уровнях цен может выглядеть полезным общим сигналом риска
Пропуски, выбросы, частота и окно выборки меняют ковариацию. Планирование данных до PCA важнее названия, присвоенного результату позже
Ковариация и корреляция отвечают на разные вопросы
PCA по матрице ковариации сохраняет исходные единицы, поэтому переменная с большей волатильностью может сильнее влиять на ведущие направления
PCA по матрице корреляции сначала масштабирует каждую переменную до единичной дисперсии. Это ограничивает влияние единиц, но может убрать экономически значимые различия масштаба
Выбор зависит от цели. Изменения доходности в одинаковых единицах и смешанный набор индикаторов не обязательно требуют одной и той же матрицы
Компоненты последовательно максимизируют дисперсию
Первая главная компонента — единичное направление, проекция наблюдений на которое имеет максимально возможную выборочную дисперсию
Каждая следующая компонента максимизирует оставшуюся проекционную дисперсию при ортогональности ко всем компонентам, выбранным раньше
Ортогональность делает оценки компонент некоррелированными в подогнанной выборке. Она не доказывает независимость исходных экономических шоков
Нагрузки и оценки выполняют разные задачи
Нагрузки — веса, объединяющие исходные переменные в компоненту. Они показывают, какие переменные направлены вместе с конкретной осью или против неё
Оценки — координаты, полученные проекцией каждого наблюдения на эту ось. Нагрузки задают направление, а оценки движутся по нему во времени
Собственный вектор можно умножить на минус один без изменения оси. Одна лишь смена знака не свидетельствует о развороте экономической связи
Объяснённая дисперсия — неполная цель
Собственное значение компоненты равно её выборочной дисперсии. Деление на сумму всех собственных значений даёт долю объяснённой дисперсии
График камней и накопленная объяснённая дисперсия — отправные точки выбора размерности. Фиксированный порог вроде 80% не является универсально оптимальным
Направление с малой дисперсией всё ещё может содержать прогнозную информацию или ограничение на хедж. Объяснённая дисперсия не равна предсказуемости доходности
Выбирайте размерность вне подогнанной выборки
Слишком мало компонент пропускает структуру, а слишком много сохраняет шум выборки вместе с устойчивым общим движением
Сравнивайте ошибку восстановления, предметную перекрёстную проверку, разрывы собственных значений и устойчивость по бутстрэпу в соответствии с целью применения
Переоценивайте нагрузки и объяснённую дисперсию на скользящих выборках. Использование осей полной выборки в историческом прогнозе вносит будущую информацию
Финансы используют PCA для сжатия общего движения
Изменения кривой доходности можно сжать в оси, похожие на уровень, наклон и кривизну, а доходности акций могут показать широкие и групповые направления
Для портфелей ведущие оси показывают, сконцентрирован ли риск несмотря на большое номинальное число позиций
Называть статистическую ось «ростом» или «ликвидностью» можно только при наличии внешних переменных, экономического обоснования и проверки в другой выборке
Сообщайте решения, делающие результат воспроизводимым
Раскройте переменные, преобразования, валюты, единицы, центрирование, масштабирование, обработку пропусков, выбросы и окно оценки
Укажите матрицу, собственные значения, объяснённую дисперсию, нагрузки, правило расчёта оценок и критерий размерности, чтобы другой аналитик мог восстановить результат
Покажите результаты вне выборки и устойчивость на скользящих окнах. PCA — оценённая система координат для выбранных данных, а не фиксированная карта реальности
Частые вопросы
PCA и факторный анализ — это одно и то же?
Нет. PCA переописывает всю дисперсию, а модель общих факторов отделяет общую ковариацию от специфической дисперсии переменных
Нужно ли всегда стандартизировать каждую переменную?
Нет. Стандартизация контролирует различия единиц, но также убирает потенциально значимые различия в масштабе волатильности
Смена знака нагрузки означает изменение структуры?
Не обязательно. Собственный вектор и его отрицание задают одну ось, поэтому знаки нужно выровнять перед сравнением окон
Компонента с высокой объяснённой дисперсией — хороший торговый сигнал?
Нет. Объяснённая дисперсия измеряет одновременное движение, а прогнозная сила требует отдельного теста вне выборки