Variância versus Volatilidade: a Diferença da Raiz Quadrada que Muda a Precificação
Aprenda por que variância é volatilidade ao quadrado, como cada medida se agrega ao longo do tempo e por que VIX, variance swaps e risco de opções não podem ser comparados por médias simples
Resposta direta
A variância calcula a média dos desvios dos retornos ao quadrado; a volatilidade é sua raiz quadrada, geralmente anualizada. Uma volatilidade de 20% corresponde a 0.20², ou variância de 0.04, portanto calcular médias, escalar e negociar essas medidas não são operações equivalentes
Elevar ao quadrado muda as unidades e o peso dado aos movimentos
A variância usa unidades de retorno ao quadrado. Elevar ao quadrado remove os sinais e dá peso desproporcional aos movimentos grandes. O desvio padrão retorna a medida à unidade original de retorno ao tirar a raiz quadrada
A convenção de mercado frequentemente chama o desvio padrão anualizado de “volatilidade”. Assim, volatilidades de 10% e 30% correspondem a variâncias de 0.01 e 0.09. O segundo estado tem três vezes a volatilidade, mas nove vezes a variância
A agregação no tempo é mais fácil na variância
Sob retornos independentes e identicamente distribuídos, as variâncias se somam ao longo do tempo. A volatilidade, portanto, escala com a raiz quadrada do tempo, não com o próprio tempo. Uma volatilidade de um dia não pode simplesmente ser multiplicada por 252
Correlação serial, regimes variáveis, sazonalidade intradiária, saltos e janelas sobrepostas enfraquecem o atalho. Declare se o cálculo usa dias de negociação ou dias corridos e qual intervalo de retorno ele amostra
A volatilidade média não é a volatilidade da variância média
A raiz quadrada é não linear. A média de várias leituras de volatilidade geralmente difere da raiz quadrada da variância média. Essa é uma consequência direta da desigualdade de Jensen
Para volatilidades de 10% e 30%, a média simples da volatilidade é 20%. A raiz quadrada da variância média é √((0.01 + 0.09) ÷ 2), aproximadamente 22.36%. A escolha muda a exposição e as comparações
Carteiras precisam de covariância, não apenas da volatilidade de cada componente
A variância da carteira combina a variância de cada ativo com a covariância entre os ativos. Dois ativos voláteis podem formar uma carteira menos volátil se seus retornos não se moverem juntos; as correlações também podem subir durante um estresse
Ponderar as volatilidades individuais e chamar o resultado de volatilidade da carteira ignora os movimentos cruzados. Calcule primeiro a estrutura de variância e covariância e só então tire a raiz quadrada
Os mercados de opções muitas vezes negociam variância enquanto cotam volatilidade
Uma cadeia de opções exibe a IV como um percentual de volatilidade legível. No entanto, faixas de opções podem replicar payoffs semelhantes à variância, e a matemática dos índices da Cboe usa pesos relacionados à replicação de variance swap
Por isso, mudanças iguais na IV cotada não precisam ter o mesmo valor econômico em níveis iniciais diferentes. Passar de 10% para 11% altera menos a variância do que passar de 30% para 31%
O VIX tira a raiz quadrada depois de agregar os preços das opções
A metodologia do VIX combina cotações elegíveis de opções SPX em uma medida de variância esperada de 30 dias, interpola o horizonte-alvo e depois reporta a raiz quadrada em uma escala percentual anualizada
O VIX, portanto, não é uma média simples das IVs exibidas nos contratos. A assimetria e os pesos dos strikes importam, então duas superfícies com IV at-the-money semelhante podem produzir valores diferentes para o índice
Variance swaps e exposição à volatilidade não são intercambiáveis
O payoff de um variance swap é linear na variância realizada em relação a um strike de variância. Um volatility swap pagaria sobre a volatilidade realizada. Tirar uma raiz quadrada introduz convexidade, portanto strikes e hedges justos diferem
Uma posição em opções acrescenta efeitos de delta, gamma, assimetria, trajetória e execução. Dizer que ela é “long volatility” não identifica se seu P&L se assemelha a uma exposição à variância, à volatilidade ou a outra exposição dependente do estado
Documente a medida realizada antes de comparar
Especifique retornos simples ou logarítmicos, amostragem de fechamento a fechamento ou intradiária, quantidade de observações, fator de anualização, tratamento da média, feriados e dados ausentes. Convenções diferentes podem produzir variâncias realizadas diferentes
Compare quantidades implícitas e realizadas com horizontes e unidades correspondentes. Nunca subtraia diretamente uma variância como 0.04 de uma cotação de volatilidade como 20%
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre variância e volatilidade?
A variância calcula a média dos desvios dos retornos ao quadrado. A volatilidade é sua raiz quadrada e normalmente aparece como um percentual anualizado, devolvendo o resultado às unidades de retorno
Se a volatilidade é 20%, qual é a variância?
Em unidades decimais anualizadas, é 0.20² = 0.04. Chamar isso de “4%” pode causar confusão porque a variância usa unidades ao quadrado; preserve explicitamente a convenção e as unidades
Por que a volatilidade escala com a raiz quadrada do tempo?
Se os incrementos de retorno forem independentes e tiverem variância estável, a variância se soma com o tempo. Tirar sua raiz quadrada faz a volatilidade crescer com √tempo. Os mercados reais podem violar essas premissas
O VIX é uma média da volatilidade implícita do SPX?
Não. Ele usa uma faixa especificada de cotações de opções SPX e pesos de strikes para estimar a variância em um horizonte constante e depois converte o resultado em um índice de volatilidade anualizado