Volatilidade Realizada de Duas Escalas: Estimando Variância com Ruído de Microestrutura

A variância realizada costuma ser calculada pela soma dos retornos ao quadrado. Se os preços logarítmicos observados acompanhassem perfeitamente o preço eficiente, mais observações poderiam captar melhor seu percurso. Na prática, preços de transação e cotações também refletem bid–ask bounce, discretização de preços, latência e outros efeitos de microestrutura. Em intervalos muito curtos, esses efeitos podem ser grandes em relação à variação do preço eficiente entre duas observações.

Por isso, a variância realizada ingênua pode aumentar quando as observações ficam mais frequentes, mesmo que a variância integrada subjacente durante a sessão não tenha mudado. Isso não prova que a volatilidade econômica do ativo necessariamente aumentou. O resultado pode decorrer de diferenças de preço ruidosas que são elevadas ao quadrado e somadas repetidamente. O [guia de cálculo da volatilidade realizada](/pt-BR/learn/realized-volatility-calculation) explica a medida comum baseada na soma dos retornos ao quadrado; este artigo trata da correção de uma fonte específica de viés em alta frequência.

A TSRV, apresentada por Zhang, Mykland e Aït-Sahalia no estudo original de duas escalas de tempo, usa duas resoluções para finalidades diferentes. Uma grade esparsa reduz o número de incrementos contaminados pelo ruído. A média de grades esparsas com inícios deslocados evita depender de um único ponto de partida arbitrário. A grade fina completa fornece uma estimativa escalada do ruído que pode ser subtraída. A lógica depende de hipóteses e escolhas para uma amostra finita; portanto, o resultado é um estimador com incerteza, e não uma observação sem ruído do verdadeiro caminho dos preços.

Seja \(X_t\) o preço logarítmico eficiente latente, modelado ao longo da janela como um processo contínuo com taxa de variância local \(\sigma_t^2\). O alvo é a variância integrada:

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

No instante de observação \(t_i\), suponha que o preço logarítmico registrado seja

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

em que \(\epsilon_{t_i}\) é o ruído de observação. A derivação clássica parte de um modelo básico no qual o ruído tem média zero, é independente entre instantes de observação e do processo do preço eficiente, e possui variância constante \(\omega^2\). Também pressupõe uma grade de amostragem regular e um modelo contínuo adequado para o preço eficiente na janela. Essas são condições de modelagem, não descrições universais dos dados de bolsas.

O incremento observado é \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). O erro de preço em uma observação entra em dois retornos adjacentes com sinais opostos: um erro positivo de precificação eleva um retorno e reduz o seguinte. Por isso, retornos formados a partir de preços ruidosos não se comportam como erros de medição independentes. O [guia de variação quadrática em finanças](/pt-BR/learn/quadratic-variation-finance-explained) explica por que, sem ruído, a soma dos incrementos ao quadrado tem como alvo a variação do caminho.

O objetivo aqui é a variância ao longo de uma janela de tempo definida. Não é uma estimativa de spread bid–ask, uma previsão ou um custo de execução realizado. Para outra questão sobre preços de transação, consulte o [estimador de spread bid–ask de Roll](/pt-BR/learn/roll-bid-ask-spread-autocovariance-estimator-explained). Manter claro o objeto de estimação importa porque vários procedimentos de microestrutura usam preços de alta frequência, mas estimam grandezas diferentes.

Para \(n\) retornos na grade fina, defina

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

No modelo básico, a componente de ruído de um retorno observado é \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\), com variância \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). Ignorando os termos cruzados cuja esperança é zero sob as hipóteses de independência, a esperança da soma na grade fina é aproximadamente

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

O primeiro termo é a variância integrada desejada. O segundo acumula uma contribuição de ruído para cada retorno fino. Conforme o intervalo de amostragem diminui e \(n\) cresce, o termo de ruído pode dominar. Essa é a razão central pela qual “amostrar o mais frequentemente possível” não é uma regra segura quando o ruído de medição é ignorado. Aït-Sahalia, Mykland e Zhang analisam a questão de uma frequência ótima finita no estudo de amostragem na presença de ruído de microestrutura.

A aproximação trata da esperança sob um modelo. Uma amostra específica também contém termos cruzados aleatórios entre incrementos do preço eficiente e do ruído; portanto, o valor realizado pode não ser igual à esperança. Se a variância do ruído mudar ao longo do dia, os erros forem serialmente dependentes ou a amostragem for irregular, a expressão simples \(2n\omega^2\) pode não descrever o viés. Nesses casos, uma fórmula conhecida pode produzir um número com aparência precisa, mas direcionado à correção errada.

Escolha um inteiro \(K>1\). Para cada deslocamento \(k=0,\ldots,K-1\), calcule a variância realizada na grade esparsa usando um preço observado a cada \(K\) observações:

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

Cada incremento esparso cobre um intervalo mais longo, mas a grade continua abrangendo aproximadamente a mesma janela de observação. Calcule a média sobre os deslocamentos disponíveis:

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Os deslocamentos importam. Uma única grade esparsa pode começar logo antes ou depois de um grande movimento e tornar o resultado sensível a essa escolha. A média das grades deslocadas reduz a dependência do ponto inicial. Ela não cria \(K\) conjuntos de dados independentes: as grades reutilizam observações e são estatisticamente dependentes.

Com ruído de observação independente e de variância igual, os dois termos de ruído nas extremidades de um retorno esparso vêm de observações distintas, então a variância da diferença continua sendo \(2\omega^2\). Há menos retornos esparsos do que retornos finos, de modo que a estimativa esparsa média acumula menos viés de ruído. Sua contribuição de sinal permanece aproximadamente igual à mesma variância integrada, pois os incrementos esparsos atravessam a janela em vez de cobrir apenas uma fração dela.

A ilustração deste guia é conceitual: compara um caminho observado irregular com grades deslocadas mais grosseiras em torno de um caminho latente mais suave. Ela não representa dados de mercado nem o resultado de um estimador.

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Para estimadores construídos a partir de máximas e mínimas, em vez desta construção com duas grades, consulte o [guia de estimadores de volatilidade baseados em amplitude OHLC](/pt-BR/learn/range-based-volatility-estimators-ohlc-explained).

Seja \(\bar n\) o número médio de retornos esparsos entre as grades de deslocamento, e defina \(\lambda=\bar n/n\). Sob o modelo básico, o viés médio de ruído das grades esparsas é aproximadamente \(2\bar n\omega^2\). O viés de ruído da grade fina é aproximadamente \(2n\omega^2\), então \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) contribui com aproximadamente \(2\bar n\omega^2\). A subtração cancela o termo de ruído principal:

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Essa diferença bruta também subtrai uma fração \(\lambda\) do sinal de variância integrada, já que os dois termos de variância realizada contêm sinal. Por isso, uma normalização comum para amostra finita é

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

O denominador restaura o coeficiente do sinal no cálculo simples da esperança. Convenções e tratamento das extremidades variam entre implementações; documente a definição exata de \(n\), o conjunto de deslocamentos e como \(\bar n\) é calculado. A correção não elimina a incerteza amostral nem conserta um modelo de ruído violado. Na configuração assintótica clássica, \(\lambda\) diminui à medida que a amostra cresce; em uma janela curta, o fator de amostra finita ainda pode ser relevante.

A estimativa pode ser negativa quando \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). Isso não significa variação física negativa: a subtração de ruído em amostra finita excedeu a estimativa esparsa. Substituí-la por zero pode ser conveniente para uma exibição posterior, mas altera o estimador e acrescenta uma regra de truncamento. Preserve e reporte a estimativa bruta durante a análise, examine as escalas e hipóteses escolhidas e declare explicitamente qualquer truncamento posterior.

Considere sete pontos hipotéticos de preço logarítmico observado, que produzem seis retornos finos em pontos-base: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. Essa pequena sequência serve apenas para ilustrar a aritmética; não são dados de bolsa. A variância realizada da grade fina é

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Defina \(K=2\). O primeiro deslocamento agrupa retornos finos adjacentes nos retornos esparsos \([2,-2,2]\) bp, cuja soma dos quadrados é \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). O deslocamento seguinte produz \([0,0]\) bp, com soma igual a 0. A média das duas estimativas das grades é \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

Há seis retornos finos e os dois deslocamentos contêm três e dois retornos esparsos, respectivamente. Assim, \(\bar n=(3+2)/2=2.5\), \(\lambda=2.5/6=5/12\), e

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Em unidades de retorno decimal ao quadrado, a estimativa é \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\). Sua raiz quadrada é aproximadamente \(2.45\) bp nesta janela hipotética; não está anualizada. A igualdade numérica com a variância realizada da grade fina é uma característica desta sequência pequena construída, não uma identidade da TSRV. Outros caminhos de preços podem gerar uma estimativa maior, menor ou até negativa.

A aritmética também deixa visível uma limitação do modelo: o caminho latente verdadeiro e o ruído não são observados separadamente, então esta amostra sozinha não demonstra que \(6\,\mathrm{bp}^2\) seja a variância integrada real. É possível auditar somas, escala e unidades, mas não inferir a decomposição oculta a partir do exemplo. A literatura empírica também aborda realized kernels, outra família de correções para ruído de alta frequência com hipóteses e escolhas de implementação próprias.

A escala \(K\) equilibra o número de retornos esparsos com a média e a correção de ruído. Um \(K\) muito pequeno deixa muitos incrementos curtos e pode manter alta sensibilidade ao ruído. Um \(K\) muito grande deixa poucos retornos grosseiros, tornando a estimativa esparsa instável e mais exposta aos efeitos de uma janela finita. A média dos deslocamentos ajuda no alinhamento da grade, mas não cria informação ausente em uma amostra curta ou de baixa qualidade.

Na análise assintótica original, o espaçamento esparso preferido cresce com o tamanho da amostra; sob a notação e as condições básicas daquele artigo, sua ordem é \(n^{2/3}\). Trata-se de um resultado teórico de escala, não de uma instrução universal para usar determinado número de segundos ou observações. O ótimo depende da relação entre ruído e sinal e das hipóteses; trabalhos posteriores e implementações práticas podem usar outras regras de ajuste e convenções de extremidade. Informe o intervalo de amostragem, \(K\), os deslocamentos, os limites da sessão e a normalização para amostra finita para que a estimativa possa ser reproduzida.

Uma análise defensável pode comparar um conjunto de valores plausíveis de \(K\), definidos previamente, e mostrar a sensibilidade em vez de escolher depois de ver os resultados o ajuste mais atraente. Se as estimativas mudarem muito, essa instabilidade faz parte do achado. Escolha a escala conforme o desenho dos dados e uma regra documentada, não depois de buscar o valor de volatilidade desejado. Uma comparação pode incluir uma variância realizada mais esparsa ou uma alternativa robusta ao ruído, mas as medidas devem ser identificadas separadamente.

A correção clássica é derivada para uma estrutura específica de ruído. Bid–ask bounce e outros efeitos de microestrutura podem ser serialmente dependentes, variar durante a sessão, depender da liquidez ou ter correlação com incrementos do preço eficiente. Hansen e Lunde documentam, em seu estudo de variância realizada e ruído de microestrutura, interações que incluem dependência temporal e correlação com mudanças do preço eficiente. Mais tarde, Aït-Sahalia, Mykland e Zhang desenvolvem métodos de duas escalas para ruído de microestrutura dependente. Essa extensão é motivo para distinguir o estimador modificado da fórmula original com ruído iid, não para presumir que a fórmula original trate qualquer padrão de dependência.

Outros problemas práticos incluem horários de observação irregulares, ativos assíncronos, cotações defasadas, discretização de preços, saltos, transações incorretas, efeitos de abertura e fechamento e observações ausentes. Eles podem afetar tanto a correção da grade fina quanto os retornos incluídos nas grades esparsas. Se saltos pertencem à variação quadrática alvo ou devem ser separados depende da pergunta de pesquisa; a TSRV, por si só, não decide essa escolha de modelagem. Filtrar observações também altera a grade e deve ser documentado.

Robustez ao ruído não significa imunidade a todos os problemas de dados. Antes de interpretar uma estimativa como medida de variância latente, defina se a entrada são preços de transação, cotações ou preços médios; informe a transformação dos retornos e a base temporal; verifique se os intervalos de observação são regulares; registre as regras de limpeza e de sessão; e avalie a sensibilidade a \(K\). Se o processo de ruído violar as hipóteses básicas, use um método desenvolvido para esse caso e explique suas hipóteses. Não chame uma estimativa negativa de volatilidade negativa nem a transforme silenciosamente em um número positivo.

Um relatório transparente identifica a janela alvo, a série de preços de entrada, o intervalo de amostragem, o número de retornos finos, o espaçamento esparso \(K\), o conjunto de deslocamentos, a regra de extremidade, as hipóteses de ruído, a normalização, as unidades e qualquer truncamento. É possível mostrar a diferença bruta e a estimativa normalizada, além de uma faixa de sensibilidade para escalas definidas previamente. Esses detalhes tornam o cálculo auditável e evitam que uma estimativa de variância seja confundida com uma cotação, uma previsão futura ou evidência de uma regra de negociação lucrativa.

A variância integrada é medida na janela observada. Anualizá-la requer uma convenção temporal explícita e não deve ocultar padrões intradiários, intervalos noturnos ou pausas de negociação. A raiz quadrada muda a unidade para volatilidade na janela, mas não cria um horizonte de previsão. Uma medida histórica realizada pode ser uma entrada de um modelo; o desempenho preditivo precisa ser avaliado separadamente em dados que não foram usados para escolher as configurações do estimador.

A principal contribuição da TSRV é metodológica: sob um modelo explícito de ruído aditivo, ela usa duas escalas de amostragem para reduzir o viés de ruído dominante que torna inconsistente a variância realizada ingênua de alta frequência. O método não identifica a fonte de cada oscilação de preço, não elimina o risco de modelo e não informa qual será a próxima volatilidade. Esses limites devem acompanhar o valor reportado.