Taxas par, spot e forward: o que a curva de juros mostra

A curva de títulos é construída com preços ou rendimentos de papéis com cronogramas de pagamento e vencimentos diferentes. A cotação de um título com cupons resume vários fluxos futuros em um único rendimento até o vencimento. A taxa spot de um título zero cupom precifica um pagamento em uma data. A forward descreve a taxa de um intervalo que começa mais adiante. As medidas se relacionam pelas mesmas relações de desconto, mas resumem perguntas distintas sobre fluxos de caixa.

Quando uma tela mostra “rendimento de dois anos”, isso pode significar o rendimento de uma Treasury Note específica de dois anos, um ponto de vencimento constante lido numa curva par ajustada, uma taxa spot zero ou uma forward que começa em data futura. O prazo, sozinho, não identifica a medida. Confira a fonte da curva, o instrumento, a convenção de capitalização e se o número é rendimento de um título atual, taxa par, taxa zero ou taxa de um período futuro.

Três perguntas práticas ajudam a separar os conceitos: que taxa desconta um pagamento numa data específica? Que cupom faria um título ser negociado ao par? Que taxa num período posterior igualaria dois caminhos de investimento com as mesmas datas inicial e final? São, respectivamente, as perguntas sobre spot, par e forward.

A taxa spot, também chamada de taxa zero cupom para o prazo correspondente, desconta um único pagamento naquele vencimento. Se um crédito hipotético zero cupom de dois anos pagar US$ 100 no fim do segundo ano e sua taxa spot efetiva anual for 4%, seu valor hoje, sob essa convenção simplificada, será US$ 100 ÷ (1,04)², cerca de US$ 92,46. Não há cupons intermediários a descontar.

O fator de desconto expressa a mesma relação sem anualizar um rendimento. Seja DF(T) o valor presente de US$ 1 recebido no momento T. Com capitalização anual, DF(T) = 1 ÷ (1 + z(T))^T, em que z(T) é a taxa spot para o prazo T em anos. Um fluxo C pago em T vale C × DF(T), antes de ajustes por outros riscos ou convenções. O fator costuma ser o objeto mais direto na precificação porque pode ser aplicado separadamente a cada pagamento datado.

Um título com cupom paga em várias datas e normalmente exige fatores de desconto para cada uma. Descontar todos os cupons por um único rendimento até o vencimento é um atalho útil apenas sob convenções de YTM especificadas; não equivale a descontar cada fluxo numa curva spot. A diferença importa quando a curva tem inclinação, as datas são irregulares ou dois títulos têm cupons diferentes e vencimentos finais parecidos.

O rendimento par é o cupom que faz o valor de um título teórico igualar seu valor de face, dados os fatores de desconto da curva e as datas de pagamento assumidas. Para um título de valor de face de US$ 100 com pagamentos anuais dos anos 1 a T, o cupom par c resolve: $100 = c × DF(1) + c × DF(2) + … + ($100 + c) × DF(T). Com pagamentos semestrais ou irregulares, também entram na conta a fração transcorrida de cada período do cupom e as datas de desconto correspondentes.

Essa definição diferencia o rendimento par do cupom e do rendimento até o vencimento de um título real. O cupom de um papel emitido está nas condições contratuais; seu rendimento de mercado muda quando o preço muda. Já o rendimento par é o cupom derivado da curva para um novo título teórico precificado pelo valor de face. O Tesouro dos EUA descreve sua curva publicada como uma curva de rendimentos par ajustada a cotações indicativas de compra, não como uma lista de preços negociados de títulos teóricos ao par. O método transforma preços de mercado em rendimentos, calcula forward rates por bootstrap nos vencimentos de entrada e interpola uma curva que reproduz os dados com baixo erro de preço. A metodologia da curva do Tesouro explica essa construção.

O rendimento par é útil para comparar títulos hipotéticos com cupom em um prazo escolhido e sob uma curva consistente. Não significa que um título existente com o mesmo prazo pague aquele cupom, nem incorpora liquidez, tributação, opções embutidas ou detalhes de liquidação de um papel específico. Para analisar um título concreto, use seu preço, datas de cupom, condições de resgate e convenção de cálculo do rendimento.

A taxa forward é a taxa implícita hoje para tomar ou aplicar recursos durante um intervalo futuro. A pergunta é que taxa do intervalo faria dois caminhos de investimento, com as mesmas datas inicial e final, chegarem ao mesmo valor. Sob a hipótese simplificada de capitalização anual e ausência de arbitragem, a taxa forward de um ano que começa daqui a um ano é:

Forward do ano 1 ao ano 2 = [(1 + taxa spot de dois anos)² ÷ (1 + taxa spot de um ano)] − 1.

Se aplicar por dois anos à taxa spot de dois anos gerasse um valor diferente de investir por um ano à taxa spot de um ano e reinvestir no segundo ano à forward, em teoria o investidor poderia escolher o caminho mais vantajoso. Nos mercados reais, diferenças entre taxas de captação e aplicação, custos de transação, garantias, impostos, qualidade de crédito e convenções do instrumento impedem que essa replicação seja exata para todos. A fórmula explica a relação interna de preços da curva; não promete uma taxa negociável para qualquer volume.

Por exemplo, se a taxa spot efetiva anual de um ano for 3% e a de dois anos for 4%, o fator do investimento por dois anos é (1,04)² = 1,0816. No caminho alternativo, o primeiro ano multiplica o valor por 1,03. O fator implícito de crescimento do segundo ano é 1,0816 ÷ 1,03 = 1,050097, resultando numa forward de um ano para o segundo ano de cerca de 5,01%. A spot de dois anos é 4%, enquanto a forward do último ano fica em aproximadamente 5,01%: medidas diferentes da mesma curva.

Vamos continuar com uma curva zero hipotética, de taxas efetivas anuais: spot de um ano de 3% e de dois anos de 4%. Os fatores são DF(1) = 1 ÷ 1,03 = 0,970874 e DF(2) = 1 ÷ (1,04)² = 0,924556. Um pagamento zero cupom de US$ 100 daqui a um ano vale hoje cerca de US$ 97,09; o mesmo pagamento daqui a dois anos vale aproximadamente US$ 92,46. Cada spot desconta um único pagamento no seu próprio vencimento.

Qual cupom anual faria um título de dois anos e valor de face de US$ 100 valer exatamente US$ 100, pagando um cupom no fim de cada ano? A equação é $100 = c × 0,970874 + ($100 + c) × 0,924556. Resolvendo, c ≈ US$ 3,9803, ou uma taxa de cupom par de aproximadamente 3,98%. Ela fica um pouco abaixo da taxa spot zero de dois anos de 4% porque o título par paga parte do fluxo no primeiro ano, e esse cupom é descontado à taxa spot de um ano, menor.

A forward implícita do ano 1 ao 2 é cerca de 5,01%, conforme calculado acima. Assim, as três taxas respondem a perguntas distintas: 4% desconta um único pagamento no fim do segundo ano; 3,98% é o cupom de um título hipotético de dois anos negociado ao par; e 5,01% é a taxa implícita para o segundo ano sob capitalização anual. Os valores exibidos foram arredondados; o cálculo usa fatores sem arredondamento. São dados inventados, não uma observação de mercado nem uma cotação atual do Tesouro.

Uma forward é derivada matematicamente dos preços atuais dos instrumentos sob hipóteses de curva e capitalização selecionadas. Não é necessariamente a taxa de curto prazo que prevalecerá no intervalo futuro. Pode ser interpretada como taxa de equilíbrio implícita no mercado ou, com hipóteses adicionais, como um sinal aproximado das taxas curtas esperadas. Também pode incluir compensação pelos riscos de juros, inflação e outros.

Análises do Federal Reserve descrevem a forward como uma medida da taxa curta futura esperada mais um prêmio de prazo. Essa decomposição não é observável diretamente em uma curva isolada e depende de modelos ou outras evidências, como pesquisas e estimativas de prêmio de prazo. A análise do Fed sobre spreads forward mostra por que uma taxa implícita pode refletir tanto expectativas de política monetária quanto prêmio por risco. Horizontes e métodos diferentes podem, por isso, apontar histórias distintas.

Mesmo sendo um sinal útil de mercado, uma forward pode divergir da taxa realizada. Decisões futuras de bancos centrais, inflação, crescimento, apetite por risco e oferta ou demanda por duration podem mudar. Uma forward implícita alta não garante que o custo de empréstimos de curto prazo chegue àquele nível e não é, por si só, uma instrução de operação. O Tesouro ressalta que suas séries par e de vencimento constante descrevem condições observadas de mercado e não são previsões de taxas futuras.

A taxa diária Constant Maturity Treasury (CMT) é lida em um ponto da curva par ajustada do Tesouro. Não precisa coincidir com o rendimento de um título específico que vença exatamente naquela data e não é uma taxa spot zero cupom. O Tesouro informa que sua curva par diária usa cotações indicativas de compra dos títulos leiloados mais recentemente, coletadas por volta das 15h30 do horário do Leste dos EUA, e um método de curva monotone-convex. O ponto de prazo constante é construído com dados de mercado, não um identificador de título.

O Tesouro também afirma que as taxas CMT são rendimentos bond-equivalent de títulos com cupons semestrais. São cotações anualizadas simples, não taxas efetivas anuais ou APYs. Pela convenção do Tesouro, um rendimento bond-equivalent de 8,00% corresponde a um rendimento efetivo anual de 8,16% após capitalização semestral. A tabela CMT não publica uma curva zero cupom diária. O recurso separado Treasury Coupon Issues contém séries históricas de curvas spot, par e forward em frequência mensal, trimestral ou de fim de mês. O FAQ de taxas de juros do Tesouro esclarece essas distinções.

O método de construção da curva também importa. A curva par atual do Tesouro interpola forward rates obtidas por bootstrap; outro provedor pode usar dados, suavização ou interpolação diferentes e produzir uma curva um pouco distinta. Uma spot ou forward derivada está, portanto, ligada à construção da curva e à convenção de cotação. Pode ser internamente consistente e útil sem representar um título do Tesouro negociado separadamente.

Para precificar fluxos prometidos, desconte cada pagamento datado com fatores de uma curva adequada ao título e ao objetivo da avaliação. Uma curva spot zero foi concebida para representar o valor do dinheiro no tempo em cada data; crédito, liquidez, impostos e opções podem exigir ajustes adicionais. Não desconte todos os cupons por uma única taxa de vencimento, a menos que esse seja o método YTM escolhido deliberadamente.

Para comparar o cupom de uma emissão hipotética ao par, use o rendimento par correspondente e a frequência de pagamento. Ao descrever o rendimento de um Treasury de referência, identifique se é de uma Note específica ou de um ponto CMT. Para examinar a taxa implícita de um intervalo futuro, use uma forward e indique início, fim, capitalização e fonte da curva. Para separar expectativas de taxas curtas do prêmio de prazo, a forward sozinha não basta: é preciso um modelo ou medida de pesquisa.

Essas distinções também explicam por que um gráfico da curva pode parecer diferente da sensibilidade de preço de um título. Para a reação de uma carteira a mudanças da curva em prazos selecionados, consulte key-rate duration e risco da curva de juros. Para o papel das estimativas de prêmio de prazo nos juros longos, veja prêmio de prazo do Tesouro e estimativas de modelos. Para cupom, rendimento corrente e YTM de um título, veja taxa de cupom versus rendimento corrente e YTM.

Anote primeiro o tipo e a fonte da curva. É o YTM de um título, um ponto par CMT do Tesouro, uma taxa spot estimada ou uma forward de intervalo futuro? Confira também se a taxa é nominal ou real, efetiva anual ou bond-equivalent, e se usa pagamentos anuais, semestrais ou outra frequência. Comparar períodos ou capitalizações diferentes pode inverter o resultado ou induzir a erro.

Depois alinhe fluxos e datas. O cupom par depende das datas de pagamento presumidas; o fator spot, do tempo até cada pagamento; e a forward, dos períodos exatos de início e fim. Em uma curva prática, contagem de dias, feriados, defasagem de liquidação, juros acumulados e interpolação entre vencimentos cotados afetam o resultado. Uma diferença de poucos pontos-base pode vir de uma convenção ou horário de corte diferente, e não de uma divergência relevante sobre o futuro.

Por fim, separe o cálculo da curva da conclusão. Taxas par, spot e forward são formas relacionadas de resumir preços, não previsões intercambiáveis. A curva mostra o desconto implícito nas cotações atuais e o valor relativo entre vencimentos. Sozinha, ela não identifica a trajetória futura da política monetária, não prova que um título está barato ou caro e não informa quanto um tomador pagará após spreads de crédito, tarifas e condições contratuais.

Fontes: U.S. Treasury, Treasury Yield Curve Methodology; U.S. Treasury, Interest Rates FAQs; U.S. Treasury, Treasury Coupon Issues curve datasets; Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present; Federal Reserve Board, “(Don’t Fear) The Yield Curve”.