O princípio da máxima entropia em finanças
Entenda a maximização da entropia sob restrições de momentos e preços de opções, sua dualidade de família exponencial, o papel de uma medida de referência e as verificações necessárias para uma distribuição implícita
Resposta direta
O princípio da máxima entropia escolhe a distribuição de probabilidade com maior entropia entre aquelas que satisfazem as restrições estabelecidas. Em finanças, ele pode inferir uma lei neutra ao risco suave a partir de momentos ou preços de opções, mas “menos informativa” só faz sentido em relação ao suporte, às variáveis, à medida de referência e às restrições escolhidos
A entropia classifica as distribuições viáveis
Para probabilidades discretas p_i, a entropia de Shannon é H(p)=−Σ_i p_i log p_i
A máxima entropia maximiza H sujeita a p_i≥0, Σ_i p_i=1 e a restrições como Σ_i p_i f_j(x_i)=c_j
O resultado não acrescenta estrutura ajustada além daquela imposta pelo suporte, pela representação-base e pelas restrições declaradas
A solução geralmente tem forma exponencial
Com uma medida de referência m e restrições lineares de expectativa, a solução normalmente tem p_θ(x)=m(x)exp[Σ_jθ_jf_j(x)−ψ(θ)]
O normalizador log ψ faz com que a probabilidade total seja um, enquanto seu gradiente iguala as expectativas do modelo às restrições
A Hessiana de ψ é uma matriz de covariância, conectando a curvatura dual à identificabilidade e ao condicionamento numérico
A entropia contínua precisa de uma referência
A entropia diferencial muda sob uma mudança não linear de coordenadas e não é uma quantidade invariante de informação ausente
Minimizar a entropia relativa KL(p||m) em relação a uma distribuição anterior ou medida-base explícita torna essa dependência visível
Mudar a variável de estado, o suporte, a grade ou a referência m pode mudar a resposta mesmo quando as restrições principais parecem idênticas
Os preços das opções se tornam restrições lineares
Preços descontados de opções europeias são expectativas neutras ao risco de funções de payoff e podem restringir uma distribuição terminal
Normalização e a condição de martingale a termo precisam acompanhar as restrições de strike, o desconto, os dividendos e as convenções do contrato
Buchen–Kelly usam máxima entropia para inferir uma distribuição do ativo a partir de preços de opções; a entropia cruzada mínima pode incorporar uma lei anterior
A viabilidade vem antes da otimização
Mids ruidosos podem violar limites de preço, monotonicidade do strike ou convexidade, deixando nenhuma distribuição não negativa capaz de corresponder exatamente a todas as cotações
Intervalos bid-ask, ajuste ponderado ou variáveis de folga podem restaurar a viabilidade, mas cada escolha muda a informação imposta à solução
Restrições próximas do limite viável podem concentrar massa, levar os multiplicadores duais para longe e tornar a otimização mal condicionada
Suavidade não é evidência de verdade
A máxima entropia escolhe uma distribuição de um conjunto subdeterminado; ela não prova que o mercado siga essa distribuição
Strikes esparsos deixam o formato das caudas fracamente identificado, e a entropia pode espalhar massa de acordo com a medida-base, não com evidências econômicas
Adicionar muitas restrições ruidosas pode ajustar demais as cotações, enquanto poucas restrições podem ocultar a estrutura do smile e subestimar a incerteza entre strikes
A validação reprifica e perturba a solução
Verifique positividade, normalização, média a termo, cada condição bid-ask ajustada e propriedades de ausência de arbitragem estática em uma grade densa de strikes
Perturbe cotações, grades, extremos do suporte, distribuições anteriores, pesos das restrições e tolerâncias do solver para revelar conclusões instáveis sobre as caudas
Compare preços de opções fora da amostra e informe a escolha de entropia, os resíduos duais, as restrições ativas e a incerteza, em vez de apenas uma densidade implícita
Perguntas frequentes
O que é o princípio da máxima entropia?
Ele seleciona a lei de probabilidade mais entrópica entre todas as leis que satisfazem restrições especificadas de normalização e expectativa
A máxima entropia encontra a distribuição verdadeira?
Não. Ela escolhe uma distribuição com o mínimo de compromissos em relação ao suporte, à medida de referência, às variáveis e às restrições declarados
Como os preços de opções restringem a distribuição?
Cada preço europeu fornece uma expectativa descontada do seu payoff sob a lei terminal neutra ao risco
Por que usar entropia relativa em vez de entropia diferencial?
A entropia relativa torna explícita a distribuição anterior ou medida-base, enquanto a entropia diferencial muda sob transformações de coordenadas